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单级倒立摆系统建模 倒立摆 倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是 快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必 须施加强有力的控制手段才能使之稳定。许多新的实 时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。 从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种 重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的 垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很 大的相似性。 小车倒立摆系统建模 图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应 的平衡条件是θ(t) 0和dθ/ dt 0。 人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状 态控制没有本质差异。 图1 手持倒立摆 小车倒立摆控制问题描述 该问题的经典表述形式— y +l sinθ — 图2所示的小车上的倒摆 控制问题。 θ 小车必须处于运动状态才 能保证质量m始终处于小车 上方。 图2 小车倒立摆 小车倒立摆动力学分析 分析系统水平方向的受力情况和铰接点的力矩情 况，列写系统运动的微分方程。 系统水平方向受力之和为： 2 2 d y d ( ) M 2 +m 2 y +l sin θ u dt dt 2 即 (M +m)y +mlθcosθ−mlθ sin θ u ，有sinθ ≈θ 和cosθ ≈1 由于平衡附近θ(t) ≈0 和θ ≈0 ＋ (M m)y +mlθ −u(t) 0 ① 其中，u(t) ——施加在小车上的外力， l ——质量m到铰接点的距离。 动力学分析(2) 绕铰接点旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡： ⎡ d2 ⎤ ⎢m 2 (y +l sinθ ⋅l cosθ mgl sinθ)⎥ ⎣ dt ⎦ 2 2 即： y cosθ+lθcos θ−lθ sin θcosθ g sin θ 又由于平衡点附近θ(t) ≈0 且 ,即 sinθ ≈θ和cosθ ≈1 θ ≈0 代入上式得： y +lθ −gθ 0 ② 动力学分析(3) 选定两个二阶系统的状态变量为