华南理工大学2006年数学分析考研试题及解答.pdfVIP

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华南理工大学2006年数学分析考研试题解答一．解设 , n n n n , a = n+ n − n b = 3 +5 + 7 n n n 1 1 lima =lim = lim = , n n→∞ n→∞ n+ n + n n→∞ 1 2 1+ +1 n n n n n limb =lim 3 +5 +7 =7 , n n→∞ n→∞ 1 lima an n→∞ n 2 1 所以lim = = = . n→∞ b limb 7 14 n n n→∞ 2 x + A 2x A 二．证明显然有x 0，x = n ≥ n = A， n n+1 2x 2x n n 2 x + A n x −x = − x n+1 n n 2x n A−x2 = n ≤ 0， 2x n x −x ≤ 0，所以单调递减有下届，于是收敛， x x n+1 n { } { } n n 设，， limx = a a≥ A n n→∞ 2 则有 a + A， 2 ，， a= a = A a= A 2a 故lim x = A. n n→∞ 三．证明（1）当α =1时，显然成立； α α （2）当α 1时，对0≤ x≤1，显然有x + 1−x ≤ x+ 1− x =1， ( ) ( ) α 设 α ， f x =x + 1−x ( ) ( )