微分方程及其定解条件等效积分.pptVIP

例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程 现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一 部分的边界上给定函数方向导数，这样 了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的， 因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的 一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这 时抽象表达是 就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种 微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分 形式 虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还 是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二 维拉普拉斯方程及其边界条件 这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域 在求解域内的一个小区域内 拉普拉斯方程也是成立的， 也就是 如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是 这样 设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的 面积等于这些小区域面积和 对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的 现在我们把它对所有小区域求和 现在我们把它对所有小区域求和 再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是 回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到 对于边界条件我们同样可以做类似的分析 上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界 条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待 现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立 对于边界条件也可以这样 按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式 这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就 是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过 来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就 成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形 式。我们可以把它推广到一般情况。 现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾 介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为： 像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对 微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的 都是任意的函数，把这些积分加起来 对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分 上面这两个积分，我们可以写成矢量形式 这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了 这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论 的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限 元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之 一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微 分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。 上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分 方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它 们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分 式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行 计算 在这个积分式中， 要使这个积分存在，不能出现 无穷大的情况 要达到这个目的，就要对 做出一些限制 对 ，由于是我们可以选择的函数，那就选择那些 单值，且在求解域和求解域边界上可积分的函数就可以 对 ，虽然是待求解，我们也可以定性的给出它的一个 性质，它的选择要根据微分方程的阶数来选择，如果微 分方程（组）中最高微分阶次为n，那么待求解必然是一 个具有n-1阶连续的导数，这样的函数也称为具有Cn-1连续 性。这可以用于指导近似解或近似函数的选择。 微分方程的最高阶数对待求解提出了要求，但这种要求 有时过于苛刻，例如下面这个微分方程： 这个微分方程的等效积分若可以计算，则要求待解函数 具有3阶连续偏导数。这个要求太过严格，实际上只要待 求解函数的二阶偏导数为常数，这个微分方程就已经得 到满足了，只需二阶连续导数就可以了，如果能有办法 降低偏微分方程的阶数，就可以降低对待求解函数连续 性的要求了。 从微分方程等效积分形式出发，如果要降低等效积分 中微分方程的阶数要怎么办呢？ 通过分步积分的方法可以降低等效积分中微分方程的阶 数，代价是对 进行微分，等于说降低对待求函数 的要求，却提高了对 连续性的要求。 我们用一个一维问题的微分方程来说明这个问题。一个 微分方程 这个微分方程的等效积分形式 要求待求解函数具有一阶连续导数，现在对二阶导数 部分进行分步积分 经过这样的分步积分之后，对待求函数的要求由原来 的具有一阶连续导数，下降为连续可导，而对函数v 的要求则有原来的单值可积提高为连续可导。对于二 维、三维的情形，分步积分可能复杂一些，但基本思 想是一致的，现在把这种思想拓展到一般情况。 类似之前用符号表达微分方程一样，我们把对 中每一个函数的微分运算用一个符号来表示，那么 等效积分分步积分后的表达式可以写为： 这就是等效积分的“弱”形式 对于二维和三维的情况，直接从分步积