计算方法-9.5线性多步法精要.pptVIP

* * 解常微分方程初值问题小结 本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法。多步法是阿当姆斯法。它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。 实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。 * * 龙格-库塔法较为常用，适用于多步方法中作初值计算和函数f(x,y)较为简单的场合。四阶标准龙格—库塔法精度高，程序简单，易于改变步长，比较稳定，也是一个常用的方法，但计算量较大。当函数f(x,y)较为复杂，可用显式阿当姆斯方法或阿当姆斯预测—校正方法，不仅计算量较小，稳定性也比较好，但不易改变步长。 一般采用龙格—库塔法提供初值y1, y2, y3，然后用阿当姆斯外推公式求得预测值 ，再由阿当姆斯内插值求得校正值yn+1，如此求得的值近似程度好且节省计算量，是一种较好的方法。 * * * * 本节作业 P214 （4） * * * 9.5 线性多步法 单步法计算时只用到前一步的结果，因此只要给定初值，计算就可以进行下去。但是Euler等单步法的精度都较低，龙格-库塔方法虽然可以得到较高的精度，但这类算法为了提高精度，需要增加一些非节点处的函数值的计算，在每一步都需要先预报这些非节点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的设计思想，可以在计算量增加不多的情况下获得较高的精度。 用已知的若干节点处的 y 及 y‘ 值的线性组合来近似y(xn+1)。线性多步法通式可写为： * * 当 ??1?0 时，为隐式公式；??1=0 则为显式公式。 ? 基于数值积分的构造法 将 在 上积分，得到 只要近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ir，可得到不同的计算公式。 * * 构造线性多步法的主要方法：数值积分法和泰勒展开法。 * * 对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到欧拉公式和改进欧拉公式，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次的插值多项式来代替f(x,y)，则所得公式的精度会更高。这就是基于数值积分方法构造线性多步法的起源思想。 * * 若积分 用节点 作为积分点，则有 积分系数 这是显式格式，q+1阶r+1步格式。 局部截断误差 * * 例：建立r=1，q=2的显式格式 r=1，积分区间为 q=2，显式格式，积分节点为 所以 * * 同样，若以 为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式 * * 例：建立r=2，q=2的隐格式 r=2，积分区间为 q=2，隐式格式，积分节点为 所以 * * 它的截断误差较显式格式小，通常也具有更好的稳定性。 * * Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的，这样构造线性多步法的方法称为数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有Taylor法。 (1)显式Adams方法 * * r=0，积分区间为 q=1，显式格式，积分节点为 从简单情况入手 ? Adams公式 －－ r=0 时候的多步法 * * 所以 二阶显式Adams方法 * * 类似方法可通过增加节点得到更高精度的三阶显式Adams公式 r=0，积分区间为 q=2，显式格式，积分节点为 所以 * * 三阶显式Adams方法 * * 同理再增加节点得到四阶显式Adams公式 r=0，积分区间为 q=3，显式格式，积分节点为 所以 * * 四阶显式Adams方法 * * 其对应的局部截断误差为 注：一般有 ，其中Bq与yn+1 计算公式中 fn , …, fn?q 各项的系数均可查表得到 。 1 0 1 2 3 q fn fn?1 fn?2 fn?3 … Bq … … … … … … … 常用的是 q = 3 的4阶阿当姆斯显式公式 (2)隐式Adams方法 * * 隐式格式表明构造定积分 的近似公式中包含了节点xn+1。 类似显式公式的推导过程，可得到不同精度的隐式Adams公式 r