计算方法9.1-9.2精要.ppt

第九章 常微分方程数值解 * * * * 9.1 欧拉方法 第九章 常微分方程数值解 9.2 梯形方法 9.3 误差估计与稳定性 * 9.4 龙格－库塔方法 9.5 线性多步法 9.6 一阶常微分方程组的数值 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。 * * 对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间?a,b?上的一系列离散节点 处的函数值 的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为常数，称为定步长，这时节点可表示为 数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。 * * 初值问题 对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题 中的导数 进行不同的离散化处理。 * * 对于初值问题 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi， 即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格-库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是阿当姆斯法。 * * 9.1.1 Euler公式 欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题 的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。 9.1 欧拉方法 * * Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线y=y(x)在P0点上切线(其斜率为 ),与x=x1直线相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为 切线与直线x=x1的交点,得 这样就获得了P1(x1,y1)点的坐标。 x0 x1 x2 P0 P1 P2 * * 同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线交直线x=x2于P2点,切线方程为 切线与直线x=x2的交点,得 由此获得了P2(x2,y2)的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。这样,从x0逐个算出x1,x1,…, xn对应的数值解y1,y1,…, yn 。从图形上看就获得了一条近似于曲线y=y(x)的折线，因此，欧拉法也称为折线法。 * * 通常取 (常数),则Euler法的计算格式 i=0,1,…,n 还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导Euler格式。以数值积分为例进行推导。 将方程 的两端在区间 上积分得， 选择不同的计算方法计算上式的积分项 ,就会得到不同的计算公式。 * * 用左矩形方法计算积分项 代入,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到向前欧拉（Euler）公式 由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（Euler）公式当然很粗糙。 Euler公式计算yn+1是用已知的或已算出xn,yn表示，称为显式方法。又因计算公式中不涉及yn-1,yn-2,…,因此也称为单步法。 * * * 例1. 解: 由Euler公式 * * 得 依此类推,有 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.