排列组合基本题型59057.doc

排列、组合问题基本题型及解法 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）. 例2 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种. 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） （A）210个 （B）300个 （C）464个 （D）600个 例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 六、间接法 如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”. 例7四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） （A）144种 （B）147种 （C）150种 （D）141种 七、交叉问题——韦恩图 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？ 四.?定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。 例4.?由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 五.?分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5.?9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 六.?复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例6.?四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（?） A.?150种?B.?147种?C.?144种?D.?141种 七.?多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。 例7.?已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例8.?将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 九.?隔板模型法 例9.?有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？