凸函数及其在不等式证明中的应用1.pdfVIP

第4卷 第1期 广州大学学报(自然科学版) V01．4No．1 2005年 of 2月 Jourrlal science Feb．2005 Guarl乎houU11iversity(NaturalEdition) 文章编号2005)01—0001—06 凸函数及其在不等式证明中的应用 尚亚东，游淑军 (广州大学数学与信息科学学院，广东广州510405) 摘要：凸性是一种重要的几何性质，凸函数是一种性质特殊的函数，凸集和凸函数在泛函分析、最优化理论、 数理经济学等领域都有着广泛的应用．借助凸集引入凸函数概念，介绍了凸函数的基本性质，特别研究了凸函 数的Jez，sen不等式在不等式证明中的应用． 关键词：凸性；凸集；凸函数；Jellsen不等式 178 中图分类号：0174．13；0 文献标识码：A 凸性是一种几何性质，也是一种代数性质．凸 Azl+(1一A)石2∈A 函数则是一类性质独特的函数．凸性和凸函数在 或 不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数 4． V戈l，石2∈A，[戈l，石2]c 理经济学等应用数学领域都有很多应用．本文首 从代数上看，凸集是子空间概念的推广． 先借助于凸集概念引出凸函数定义，揭示凸函数 定义4… 设厂：(口，6)一R为定义在R中的 概念与凸性这一几何性质的联系．随后介绍凸函 开区间(o，6)：={戈∈尺lo戈6}上的实值函 数的几何直观描述、解析定义和凸函数的重要性 数，这里o、6满足一∞≤o6≤+∞．下列集合 质．在此基础上，利用凸函数的Jensen不等式，证 ep矿={(z，d)∈R2 明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等 称为函数厂的上图(印i聊h)． 式，显示出凸函数在不等式证明中的重要性．最后 进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用． 1凸函数的定义及性质 为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清 x)的上图 图l／I 晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两 Fig．1Epig吼phof八石) 个定义． 定义1[1]某集合称为凸集，是指连接该集合 由图l可以看出，函数的上图就是函数的图 中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合 像再并上图像上方的所有点． 中． 定义5【1】 如果函数厂：(o，6)一尺的上图 定义2【1]设x是一个线性空间，戈l，戈2∈xep扩是凸集，则，称为(o，6)上的凸函数．／称为 (o，6)上的凹函数则是指．厂是(n，6)上的凸函数． 为任意两点，称[Ⅳl，戈2]={拟∈xI瓢=从l+(1一 A)戈2，A∈[0，1]}为连接戈1，戈2的闭线段． 由凸函数的定义可知：函数图像上的两点的 连接线段使图像的连接该两点的部分在其下侧 定义3[1]设x是一个线性空问，子集Acx 称为凸集，是指对V戈l，戈2∈A及A∈[0，1]，有(如图2)． 收稿日期：