根式函数的性质和其应用.docVIP

根式函数的性质及其应用 摘要： 关键词： 引言 高考题中经常会出现含根式函数的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 性质归纳 性质1（定义域） 性质2（ 值域 ） 性质3（单调性） 在上单调递减，在上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于轴对称 将根式函数变形为，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为 ③ 该函数是上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 典例分析 已知，且，求证： 证明：设函数，它的图象是双曲线的上支(如右图) 是上的凹函数， 即得证毕. 推广： 若，且，则有 已知，求证： 证明：① 若，显然成立. ② 若，原不等式等价于 设函数，则可看作函数图象上任意两点 ，连线的斜率， 即转化为求导函数的值域问题. ， . 综上所述， 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率与之间. 当时，求证： 证明：原不等式等价于 设函数，则可看作函数图象上任意两点 ，连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在上存在一点，使得. 且， 在上单调递增. 又 ， 即 证毕. 高考竞赛在线 (2000年全国高考试题) 设函数，其中，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数. 解：不妨设：，：， 整理得：，： 则函数表示双曲线及直线对应的点的纵坐标之差，又双曲线的渐近线为，从图理解可知，当且仅当时，函数在区间上是单调递减函数. (2001年全国联赛试题) 求函数的值域. 解： 因为， 不妨设：,： 整理得：,： 则本题可转化为求双曲线及直线对应的点的距离差，其中(或). 又双曲线的渐近线为，其中一条与平行. 从图立即可得函数的值域为． 拓宽延伸 通过对根式函数图象和性质的研究，有助于遇到同类型题目时消除陌生感，减弱畏惧心， 总结提炼 参考文献 1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究，2009年第6期 2 陆建.把握特征 诱发直觉[J].中学数学教学参考，2005年第6期