弹性力学总结与复习.ppt

* 《弹性力学》课程总结与复习 一、弹性力学问题研究的基本框架： 弹性力学问题 基本假设与基本量 5个基本假设； 15个基本量： 基本原理 平衡原理 能量原理 （单元体） （整体） 基本方程 控制微分方程（15个） 边界条件（6个） 平衡微分方程（3个）： 几何方程（6个）： 物理方程（6个）： 应力边界条件（3个）： 位移边界条件（3个） ： —— 数学上构成偏微分方程的定解问题 求解方法 求解方法 函数解 精确解； 近似解； （如：基于能量原理的解） 数值解 （如：有限差分法、有限单元法等） 实验方法 二、弹性力学平面问题的求解 （1）按未知量的性质分： 按位移求解； 按应力求解； （2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答； （3）按采用的函数类型分： 级数解； 初等函数解； 复变函数解； 1. 平面问题的求解方法 逆解法； 半逆解法； 2. 平面问题求解的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （3）边界条件： （2-18） （平面应力情形） （1）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。 说明： 3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： （1） (2-27) （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3） 再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 （2-18） （2-17） 直角坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 （4－6） （2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： （4－5） （3） 将上述应力分量 满足问题的边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件： 为边界上已知位移， 为边界上已知的面力分量。 （位移单值条件） 极坐标下 4. 平面问题Airy应力函数 ? 的选取： 直角坐标下 x y O b l x 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4 x y O 极坐标下 （1） 轴对称问题 （4－11） 应力函数 应力分量 （4－12） 位移分量 （4-13） 式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。 （2） 圆孔的孔边应力集中问题 原问题的转换： 问题1 b a b a 问题2 轴对称问题 非轴对称问题 （3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶 x y O P x y O M （2） 楔顶受集中力 （3） 楔形体一侧受分布力 （4） 曲梁问题 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数： （5） 半平面问题 P x y O x y O M x y O x y O a a x y O 利用叠加法求解 练习： （1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。 （2） z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。 （3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？ （4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。 45° 四、弹性力学问题求解的能量法 1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1； （2）形变余能U *、比余能U *1； （3）总势能?； （4）总余能? *； 各量的计算。 2. 变分方程与变分原理 （1） 位移变分方程； 虚功方程； 最小势能原理； 伽辽金变分方程； （2） 应力变分方程； 最小余能原理； 3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法； （1）应力变分法； （2）最小余能原理； 如何设定位移函数？ 如何设定应力函数? ？ 4. 弹性力学两个基本定理 （1）解的唯一性定理； （2）功的互等定理； 5. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 6. 最小势能原理解题步骤：