教学版·“三次函数图象和性质”教学解释.docVIP

案例1209 “三次函数图象与性质”的探究 1. 定义： 定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 2. 三次函数图象与性质的探究： 3. 重点讲解： 一、三次函数的图像与性质 1.（2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题） 已知函数. (Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ) 设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:. 点评： 尽管研究三次方程的解是很困难的,但我们利用几何画板软件可以深入地研究三次函数的单调性、极值以及图像与x轴交点的个数.由于三次函数的导函数是二次函数,因此,考查三次函数能把导数的有关知识和二次函数的问题巧妙地结合起来,具有一定的综合性和很好的区分度,所以三次函数的问题已经成为高考命题的重点、热点和难点,全面认识三次函数的图像与性质,对于备战高考意义重大. 二、三次函数图象的切线问题 三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现. 2.设函数，其中.曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）确定的值； （Ⅱ）设曲线在点处的切线都过点（0,2）.证明：当时，； （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围. 三、三次函数都有对称中心 结论：（1）当时，函数为，对称中心为； 当时，，此时函数为 ，对称中心为。 3.已知函数的图在点处的切线方程为(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设是上的增函数 （）求实数m的最大值； 当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由下四图是三次函数及其导函数图象,其中一定不正确的序号（） 2．（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是 3.（1040221）若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间内为增函数，求的取值范围. 分析： 4．已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数的图象与X轴只有一个交点，求的取值范围。 5.（08北京大学自主招生、保送生考试试题） 已知，， 若，求证：。 单调性 导数符号 二次函数根的分布 所需条件