第九讲二重积分剖析.docVIP

第九讲 二重积分 Ⅰ.考试要求 1．了解二重积分的概念与基本性质． 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）． 注： (1) 数一要求：了解三重积分的概念与基本性质，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等）． (2) 数三要求：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算． Ⅱ.考试内容 一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义 在有界闭区域上有界 注：(1)若在闭区域上连续，或在上有界且只在有限条曲线上不连续，则函数可积. (2)若存在,则对:,取特殊的分割方式可得 （3）曲顶柱体的体积 2．二重积分的性质 (1) ； (2) ，其中，； 注： (3) ，其中为的面积； (4) 若在上，则； 注： ①逆命题不成立. ②在上连续，，则. ③在上连续，，则. (5) 设分别是在闭区域上的最大值与最小值，为的面积，则 ； (6)（二重积分的中值定理）设在闭区域D上连续，为的面积，则 在上至少存在一点，使得． 二、二重积分的计算 1.直角坐标系下 （1）型区域先对积分 如果区域形如, , 则 区域特征： 平行于轴的直线与区域交于一个线段. . (2)型区域先对积分 如果区域形如, . 特征: 与轴平行的直线与区域交于一个线段. 一般区域分成若干型区域和型区域. 注：后积先定限，限内划条线，先交是下限，后交是上线 2. 极坐标系下 用极坐标系, 一般先后. 区域特征: 从极点出发的射线与区域交于一个线段. 利用极坐标计算：． *积分区域是型区域: . 注: (1) 极点在边界上时, 内层积分下限不一定为0（两种情况）; (2) 极点在区域内部时, 外层积分从0到，内层积分下限为0.（3）极点在区域外部.(4)掌握常见的极坐标方程: ,, . 3．二重积分的对称性 (1) 如果积分区域关于轴对称，为在轴上方的部分,则 ，其中； (2) 如果积分区域关于轴对称，为在轴右侧的部分,则 ，其中； (3) 如果积分区域关于变量具有轮换对称性，即关于直线对称，则 =． 三、计算二重积分步骤 1．画出积分区域，考察能否利用对称性质简化积分． 2．选择坐标系：根据积分区域（边界曲线方程）与被积函数的特点来选择坐标系． 3．确定积分次序：在直角坐标系下，根据被积函数的特征与积分区域的类型确定 积分次序． 注意被积函数为以下特殊函数的情形： ；；； ；；． 4．确定积分的上、下限． 5．计算二次积分． 四、分区域函数的二重积分 若，则 ． Ⅲ. 题型与例题 一．概念与性质 方法：1. 性质（*不等式，化为一元函数讨论） 2. 重积分是与积分变量无关的常数 【例1】设，， ，其中，则 [ ]． (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 分析：用重积分的不等式性质比较二重积分大小，关键在于比较、与在区域上的大小. 【解】 在区域上，令有 ， 由于在 上为单调减函数，于是 ， 即 ， 因此 ，故应选 . 注：不变，变化，比较积分大小. 【例2】设连续，且，其中是由 所围区域，则等于 [ ]． (A)． (B)． (C)． (D)． 【解】设, 代入方程,得 解得，所以，.故应选. 二. 二重积分的计算 方法：1. 直角坐标 2.极坐标 【例3】计算二重积分，其中是由直线 所围成的平面区域． 分析: 选择积分次序，先考虑区域，再考虑函数 【解】 二重积分. 先对积分. . 【例4】计算二重积分，其中是由直线以及 曲线所围成的平面区域． 分析：1. 直角坐标系下的积分次序. 2.可加性 【解1】 【解2】 ， 在极坐标下 ，则 ， 所以 ． 【例5】（12218） 计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成. 【解】 . 三．利用对称性求二重积分 【例6】（12206）设区域由曲线，，围成，则( ) . . . . 【解】由对称性 . 故选. 【例7】设区域，为上的正值连续 函数，为常数，则[ ]． (A)． (B)． (C)． (D)． 【解】 由轮换对称性，有 = = 应选. 四．交换次序 方法: 1. . 2.