2017版高考数学大一轮复习第十章解析几何初步第54课直线的基本量与方程文.docVIP

第54课 直线的基本量与方程 (本课时对应学生用书第　　页自主学习　回归教材 必修练习改编已知直线的方程为，那么直线的斜率为　　　　，在轴上的截距为　　　　，在轴上的截距为　　　　【答案】　　【解析】化直线为斜截式，故；令，得，所以直线在轴上的截距为；令，得，所以直线在轴上的截距为必修练习改编已知两点，，，，点，在直线上，那么实数　　　　【答案】【解析】由，得，所以必修练习改编若直线经过原点与点，，则直线的倾斜角为　　　　【答案】【解析】因为=tan α=-，所以直线的倾斜角为必修练习改编已知直线经过点，，且倾斜角是直线的倾斜角的倍，那么直线的方程为　　　　　　　　【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则tan α=2， 所以直线的倾斜角为2α，所以=tan 2α=-， 所以直线的方程为直线的倾斜角α的取值范围是，π). 2.已知直线上不同的两点，，，，当时，直线的斜率为；当时，直线的斜率不存在当直线与轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角α之间的关系是=tan α. 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ，不全为平面直角坐标系内的直线都适用 【要点导学】 要点导学　各个击破 　直线的斜率 例　若直线与连接点，，，的线段相交，则实数的取值范围是　　　　【思维引导】直线与线段相交，即可得直线与线段的交点在线段上，于是只需在直线上取一定点，与线段两端点求出斜率即可【答案】，∪[1，【解析】直线的斜率为，且直线经过定点，，分别求出直线，的斜率为，，可得斜率的取值范围是，∪[2，， 则实数的取值范围是，∪[1，【精要点评】解答已知直线过某定点且与已知线段有交点，求其中参数的取值范围时，常用数形结合法，分别求出该定点与线段的两个端点连线的斜率，再根据图形列出不等式组来求解变式　如图，直线过点，，且与以，，，为端点的线段恒相交，则直线的斜率的取值范围为　　　　变式【答案】 变式　若直线不经过第二象限，则实数的取值范围是　　　　【答案】，【解析】直线方程可化为， 因为直线不过第二象限， 所以或或 解得即实数的取值范围是，　直线的斜率与倾斜角 例　设点是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点处的切线的斜率为，倾斜角为θ. (1)求的最小值； 求θ的取值范围【思维引导】本题需要先通过导数求出切线的斜率，再根据所得函数模型，求出斜率的取值范围，再算出倾斜角的取值范围【解答】， 当且仅当时取等号，所以的最小值为又=tan θ≥，θ∈[0，∪， 所以θ∈. 【精要点评】直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于轴；倾斜角和斜率的变化关系，请结合，∈∪的图象考虑变式　如果直线经过，，，∈R)两点，那么直线的倾斜角的取值范围是　　　　　　【答案】∪ 【解析】=tan α==1-m2≤1， 所以α∈∪. 变式　直线∈R)的倾斜角的取值范围是　　　　　【答案】 【解析】由题知斜率，故∈[-1，，由正切函数的图象知倾斜角α∈. 　直线的方程 例　已知直线的纵截距为，倾斜角是直线：的倾斜角的一半，求直线的方程已知直线过点，，分别交轴、轴于点，，且满足，求直线的方程【思维引导】设直线的方程为斜截式，由倾斜角的关系求出斜率；设直线的方程为截距式，由向量关系求出横截距和纵截距【解答】设直线的斜率为，倾斜角为α，直线的倾斜角为β，则tan β=-，且β=2α. 由tan β=tan 2α==-，得tan α=-或若tan α=-，则90°α180°， 从而180°β360°，不合题意， 所以=tan α=3. 又直线的纵截距为， 所以直线的方程为， 即方法一：设直线的方程为， 则，，，， ，，，由，得解得 所以直线的方程为， 即方法二：设直线的方程为，分别令，，得，，， 所以，由，得解得， 所以直线的方程为，即【精要点评】求直线方程时，要依据条件灵活选择方程的形式一般地，与倾斜角有关的，方程设为点斜式或斜截式，如例；与截距有关的，方程设为截距式，如例在使用斜截式方程时，可以将斜率作为变量，将问题转化为函数或方程问题来解对于直线方程的各种形式，要注意它们的使用范围，即对方程中的参数要分类讨论，特别要注意斜率不存在的情况【高频考点题组强化】 过点，，且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是　　　　　　　　【答案】【解析】直线的斜率为，故其倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角是，直线与轴垂直， 故所求直线的方程是经过点，，且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程为　　　　　　　　【答案】或【解析】设直线的方程为，由已知可得解得或 所以直线的方程为或经过点，，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程是　　　　　　　　　【答案】或