【2017年整理】2.5 解对初值的连续依赖性和可微性定理.pptVIP

作 业 P115 1,3 * 常微分方程 绵阳师范学院 2.5 解对初值的连续依赖性和可微性定理 考察 的解 对初值的一些基本性质 解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性 内容: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. y x G 解可看成是关于 的三元函数 满足 解对初值的对称性: 前提 解存在唯一 Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？ 初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时也依赖于初值 .初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题: Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 的 微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容 包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小? Q2: 解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个 区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性 问题,将在第五章中讨论. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义2.5 设初值问题 解对初值的连续依赖性 初值问题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 则由解的唯一性知, 即此解也可写成: 且显然有: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理 如果函数 于某域G内连续,且关于y 满足利普希茨条件(利普希茨常数为L),则对方程 的任意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不等式 .其中 为所考虑区间内的某一值。 证明 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是 因此 两边取平方根即得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理2.8 (解对初值的连续依赖性定理) 条件: I. 在G内连续且关于 满足局部L-条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为[a,b]. 结论: 对 , 使得当 时,方程(1)过点 的解 在[a,b]上也有 定义,且 方程 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5