03微分方程讲义–2010.ppt

数学模型 ? 动态模型 北京理工大学 王宏洲 （微分方程模型） 关于动态模型 微分方程模型的不同目的 预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态； 预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。 此前接触过的微分方程模型 本部分的主要内容 传染病模型 药物动力学房室模型 糖尿病的诊断 香烟过滤嘴的功效 烟雾的扩散与消失 减肥计划 新的人口模型 离散人口模型 Lanchester战争模型  自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝炎、出血性结肠炎、SARS…… AIDS 正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被发现以来至2003年底，全球约有34-46million HIV感染者和艾滋病患者，2000万人死亡。 2、导致新发传染病的主要因素 3、传染病的流行病学分类 1、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播 2、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；土壤；水 4、流行环节与影响因素 5、患病过程 (1)潜伏期(incubation period) ：自病原体侵入机体到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。 (2)临床症状期 :出现该病特异性症状和体征的时期,是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁殖。 (3)恢复期:某些传染病临床症状消失后的一段时间内仍可排出病原体,继续作为传染源。 (4)传染期（communicable period):病人排出病原体的整个时期为传染期 6、传播途径(route of transmission) 1、经空气传播 (air-borne transmission) 麻疹、流感 模型目标 模型假设 1、SI模型（只考虑S和I两类人） 1、SI模型（只考虑S和I两类人） (2) 人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。 (3) 每个I类的人每天“有效接触”的人数（包括病人、健康人）为常数λ。这个常数实际上就是传染率，反映本地区的卫生水平。 (4) 不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。（简化问题） 构造模型 模型求解 返回实际问题 SI模型图形分析 SI模型结果分析 2、SIS模型（可治愈但不免疫模型） 1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为μ。 构造模型 模型求解 模型结果分析 3、SIR模型（免疫模型） 1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治愈率μ。 模型求解 采用常微分方程定性理论的分析办法，将方程组转化成下面的形式： 模型求解 求解得到： 模型分析 下面我们来看随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。 首先，t →+∞时，分别以s ? , i ? , r?记各自的极限，这些极限都存在。 模型分析 i ? = 0 ?（用反证法） 假设i ? ? 0 ，那么必然有 i ? = ? 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)ε/2，把这个结论代入方程组。 模型分析 其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为： 模型分析 1/σ是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/σ。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类； 二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。 参数估计 对参数σ的估计： 令解两端同时取t→+∞，因为 i ? = 0 ，得到 其他类型的传染病模型 SIES模型——健康－染病－潜伏期－健康不免疫 SIER模型——健康－染病－潜伏期－移出系统 SIRS模型——健康－染病－短时免疫－健康(易感) 考虑抵抗能力 考虑地域传播 考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等) 二、药物动力学房室模型 实际问题分析 模型分析1 模型求解 模型分析2 模型评价 本案例是机理分析与数据处理相结合的有效方法，帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。 关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。 可以借鉴用于物