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学生帮我学习新课标 ―一道立体几何题的教学反思 安徽省阜阳市第三中学 董海涛 刚学习完立体几何第二册（下B），面对教材中习题9.8的第4题：已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。我皱起了眉头：高考中已经对这类异面直线求距离问题不作要求了，习题中怎么还出现？把这道题删去算了。 教学过程： 上课了，我非常权威地告诉学生：这道题超出了学习要求，不做了。话音刚落，就有了一片反对声：这才有挑战性啊，试试吧？看来硬堵是不行了，我只好试探性地问：“大家有信心吗？”，听到下面小公鸡般骄傲的回答，我只好放弃原来准备的上课内容，让学生小组内讨论，然后汇报研究结果。 参与了小组讨论，我才意识到我差点毁掉了一个优秀的探究学习载体，十分钟后，有的小组举手要求汇报成果： 学生1：我们小组的想法是：因为正方体的体对角线BD1与AC、DA1都垂直，所以DA1、AC的公垂线必与BD1平行。取AD的中点E，连结D1E、BE，分别交D A1、AC于G、H，连结BD1 易证EG：GD1＝EH：HB＝1：2 ∴GH∥BD1，GH＝BD1 ∵BD1⊥AC，BD1⊥D A1 ∴GH即为异面直线DA1与AC的公垂线段，且GH＝。 教师点评：该组同学分析得有理有据，反映了同学们较强的逻辑推理能力。找出与BD1平行且与AC、DA1都相交的GH是关键，AD的中点E的选取，是画龙点睛之笔。 学生2：我们小组的想法是：将AC（或DA1）放入平面α内，同时保证DA1（或AC）∥α，这样，将所求问题转化为直线AC（或DA1）上一点到平面α的距离。连结A1C1、DC1，求点C到 平面A1DC1的距离，建立如图所示的坐 标系，易求得平面A1DC1的一个 法向量={1,1,-1}　　∴d= 教师点评：该组同学很好地领悟了教材的说明――“两条异面直线的距离，等于其中一条直线（a））。 老师点评：灵活运用三棱锥的“等体积转化法”，是求点到平面的距离的巧妙方法，这里要注意“二次转化”中顶点选取的灵活性。 学生4：我们小组是把AC、DA1分别放入两个平行平面内，然后求平行平面的距离。连结DC1、A1C1、AB1、CB1，连结BD1， 易证BD1⊥平面ACB1，BD1⊥平面DA1C1。 ∵BE＝D1F＝　　∴EF＝ 教师点评：此解法与学生2、学生3所在小组的解法有异曲同工之妙，说明了即使向量进入立体几何，综合推理仍然是解立体几何不可或缺的手段，其作用不能削弱。 学生5：我们小组是根据定义，利用向量求出了公垂线段的长，具体做法是：设EF为公垂线段，建立如图所示的坐标系，∵点E在DA1上，F在AC上，∴λ，u ∴E(λ，0，λ) F(1-u,u,0) ∴(1-u-λ,u,- λ) 由=0 , =0，得λ=，u= ∴||= 老师点评：向量集数与形于一身，向量解题既有数的严谨又有形的直观，将空间的位置关系和数量计算演绎得完美无缺，向量方法是研究几何的一种有效且强大的工具。 学生6：我们小组也是运用向量法，我们求出了点C在平面DAIC1内的射影O的坐标。要求点O的位置，只要根据“点O在平面DA1C1内，OC⊥平面DAIC1即可”。由点O在平面DA1C1内，可得λ+u=(λ，u, λ+u) ∴O(λ，u, λ+u) ∴=(-λ，1-u,-λ-u) 由·=0，·=0 ∴2λ+u=0 2u+λ=1∴λ=－，u=　 ∴O(-,,) ∴||= （下面有学生提醒，不需求O点坐标，直接代入求｜｜即可。） 教师点评：我已无法可说，只能说“向量可岁”，（同学们哄堂大笑） 学生7：我们小组是回归到“距离”的定义。在DAI上任取一点E，过点E作EO⊥DA于O，过点O作OF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值即为所求。过点E作EG⊥AA1于G，设A1G＝x， 则EO=GA＝1-x，OF＝AO= ∴EF2=(1-x)2+= ∴EF的最小值是，即异面直线DA1与AC的距离为。 教师点评：回归定义，一个多么朴素的思想，却孕育了一个优美的解法，实现了数与形的“真沟通”，让我们再次领略了数学的内在有机联系。 此时，下课铃响了，我还没来得及总结，看来这节课要拖堂了，忽然一个学生迟迟疑疑地举于要发言；我示意他站起来说。 学生8：我想平面内有“点到直线的距离公式”，空间中也应该有“点到平面的距离公式”，根据直线方程，我猜想平面方程：Ax+Bx+Cz+D＝0，根据图2，利用D（0,0,0），A1(1,0,1),C1（0,1,1）可求出平面DA1C1的方程：x+y-z=0。由“点到直线的距离方式”猜想“点C到平面DA1C1的距离公式” d== ＝ 不知这样计算对不对？结果是不是巧合？ 该同学的发言，使下课铃声带来一丝骚动的教室顿时变得鸦雀无声，我还没来得及点评，强大多数学生已用不容置疑的口吻附合