32教师版平面向量.docVIP

东北师大附中2010----2011学年高三数学（理）第一轮复习导学案032 平面向量及其运算 编写教师：盛世红 审稿教师：伍建明 一、知识梳理（请同学们阅读必修教材四 74页到108页后再完成本学案） 1．向量的有关概念： （1）既有 大小 又有 方向 的量叫向量，通常记作：； 长度为0 的向量叫零向量，记作：； 长度为1个单位 的向量，叫单位向量． （2） 方向相同或相反的非零向量 叫平行向量，也叫共线向量．与平行，记作： 规定：零向量与任一向量 平行 ． （3） 模长相等，方向相同 的向量，叫相等向量． （4） 长度相等，方向相反 的向量，叫相反向量． 2．向量的加法与减法： （1）向量加法按 三角形 法则或 平行四边形 法则进行． 加法运算律：交换律：，结合律： （2）求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 起点 重合，连结两向量的 终点 ，方向指向 被减向量 ． （3） 3．实数与向量的积： （1）实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ① ＝． ② 当＞0时，的方向与的方向 相同 ； 当＜0时，的方向与的方向 相反 ；当＝0时，=． （2）运算律：()＝；(＋)＝；(＋)＝． 4．共线定理：向量与向量共线，当且仅当有唯一一个实数使得． 5．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的 一组基底 ． 注：①，均为非零向量；②，不唯一（事先给定）；③，唯一；④时， 与共线；时，与共线； 时，． 6．平面向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在平面任取一点，作，则叫做与的夹角，记作． （1）平面向量的夹角范围：； （2）若或，则称与 共线 ，记作：； 若，则称与 垂直 ，记作： ； 7．平面向量的数量积： （1）定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，则 叫做的数量积（或内积），记作． （2）性质：设都是非零向量, 是单位向量,是与的夹角,则 ①； ② 0 ； ③当与同向时, ；当与反向时, = ；特别地； ④． （3）运算律： ①交换律：；②结合律：； ③分配律： ． 8．投影的概念与数量积的几何意义： （1）“投影”的概念：叫做向量在方向上的投影． （2）数量积的几何意义：等于与向量在方向上的投影的积 ． 二、题型探究 探究一： 平面向量基本概念 例1 判断下列各命题是否正确： （1）若则； （2）若，则=； （3）若且, 则； （4）的充要条件是且． 解：正确的有（）；不正确的有（1），（），（4）． 探究二： 平面向量的运算 例2 （1）若向量，满足，与的夹角为，则． （2）已知，，则与的夹角为． （3）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ C ） （A） （B） （C） （D） （4）在中,是的中点，=1,点在直线上，且满足，则等于（ D ） （A） （B） （C） （D） 例3 若非零向量满足，且，则为（ D ） （A）三边均不相等的三角形 （B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形 （D）等边三角形 解析：，可知 由向量的数量积的定义可知， ，得到+=0 所以，cosC－cosB=0,其中B,C为△ABC内角，则∠C=∠B，故△ABC为等腰三角形； 又由 综上所述，可知△ABC为等边三角形． 此题中的条件用数形结合去处理，也很简单． 例4设是单位向量，且＝0，则的最小值为（ D ） （A） （B） （C） （D） 非零向量，满足，，则的最大值等于（ A ） （A）2 （B） （C）（D） 1 探究三： 平面向量共线定理与共面定理 例5 已知,是不共线的向量，若，则三点共线的充要条件为 ( C ) （A） （B） （C） （D） 例6 在平行四边形中，分别是边和的中点，， 其中，则=．0三、方法提升 1．向量的运算利用三角形法则或平行四边形法则，运算时，要“首尾相接”或“起点相同”．2．四、反思感悟 五、课时作业（一