8-1_微分方程基本概念.pdfVIP

E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §1 微分方程基本概念 一、 问题的提出 二、 微分方程基本概念 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 函数反映了客观世界运动过程中各种变 量之间的函数关系，是研究现实世界运动规 律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运 动规律的量与量之间的函数关系往往是不可 能的，但常可建立含有要找的函数及其导数 的关系式，这种关系式称为微分方程，对微 分方程进行分析，找出未知函数来，这就是 解微分方程。 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任一点 M x( y, ) 处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为y y x ( ) dy 2x （1） dx 其中x 1时, y 2，记成y | 2 （2） x 1 y xdx ∫2 y x 即C 2 + , （3 ） 将（2）代入（3 ）求得C 1, 所求曲线方程为y x 2 +1 . （4 ） E-mail: xuxin@ahu.edu.cn s 0 例 2 一个质量为m 的质点开始位于 ，并以初速度 v 0 做垂直上抛运动，设只考虑重力作用，求质点的 运动方程。 解 设所求质点的运动方程为s s(t )， 2 d s s (t) 2 =−g （5） dt ′ 其中s(t) | s ，s (t) v(t) | v （6 ） t 0 0 t 0 0 对（5）两边积分可得： ′ 1 2 s (t ) v(t ) −gt +C ，s(t ) =− gt +C t +C （7） 1 1 2 2