7_3全微分与偏导数.pdf

第三节、全微分和偏导数 一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算方法 三、可微的条件 四、高阶偏导数 一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 ( , ) ( ,f )+x Δy x f − x y (≈f, x )x y Δx ( , ) ( ,f )x y +Δy −f x y f(≈x, y ) y Δy 二元函数 二元函数 x y x y 对 和对 的偏微分 对 和对 的偏增量 全增量的概念 z f x y( , ) 如果函数 在点 的某邻域内 ( ,x )y +Δ +Δ′ P x( x y,并设y ) 为这邻域内的 有定义， 任意一点，则称这两点的函数值之差 f (x +Δx , y +Δy ) −f (x , y ) P Δ Δ x y , 的全增 为函数在点 对应于自变量增量 量，记为Δz ， 即 Δz f (x +Δx , y +Δy ) −f (x , y ). x , y 引例：设矩形的长、宽分别用 表示，则矩形的 面积S 为 S xy 若测量x , y 时产生的误差为Δx ,Δy , 则该矩形面积 产生的误差为 ΔS (x +Δx )( y +Δy) −xy y Δx +xΔy +ΔxΔy 上式右端包含两部分，一部分是 y Δx +xΔy ,它是 关于Δx ,Δy 的线性函数; 另一部分是ΔxΔy , 当 (Δx ,Δy ) →(0,0), 即ρ (Δx )2 +(Δy )2 →0 时, ΔxΔy ρ 是比 高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小， 而用 y Δx +xΔy 近似表示ΔS , 则其差 ΔS −(y Δx +x Δy ) Δx Δy 是一个比 ρ 高阶的无穷 小，称y Δx +xΔy 为函数S xy 在(x , y ) 处的 全微分。 z f x y( , ) ( ,x )y 定义 如果函数 在点 的全增量 =Δ +Δ +Δ − z f x ( x y , y f) x y( , )