离散数学教学课件-9代数系统.pptVIP

定义4. 设V=S, f1, f2, …, fk是代数系统, B?S, 如果B对f1, f2, …, fk都是封闭的, 且B和S含有相同的代数常数, 则称B, f1, f2, …, fk是V的子代数系统, 简称子代数. 有时将子代数系统简记为B. 注: (1)子代数与原代数是同类型的代数系统, 而且对应的二元运算都具有相同的运算性质. (2)B=V是V最大的子代数； B={V中的代数常数}是V最小的子代数； 统称为平凡子代数. (3)当B?V时, B是V的真子代数. 例1. 设V=Z, +, 0, 令 nZ=nz | z?Z, n为自然数， 则nZ是V的子代数. 证明：任取nZ中两个元素nz1, nz2 (z1, z2 ? Z), 则有nz1+nz2=n(z1+z2)?nZ, 即nZ对+运算是封闭的. 又0=n?0 ? nZ, 所以nZ是V的子代数. 注：当n=1时, nZ=Z; 当n=0时, 0Z={ 0 }; 它们是V的平凡子代数, 而其他的子代数都是V的非平凡的真子代数. 二、积代数 定义5. 设V1=S1, ?, V2=S2, ?是同类型的代数系统, ?和?为二元运算. 令S=S1?S2, 对?x1, y1, x2, y2?S1?S2, x1, y1 ? x2, y2 = x1?x2, y1?y2, 则S, ?为代数系统, 称为V1与V2的积代数, 记作V1?V2. 也称V1和V2为V1?V2的因子代数. 例如：V1=Z, +, V2=M3, ? 对?z1, A, z2, B?Z?M3, z1, A?z2, B = z1+z2, A?B, 故V1?V2=Z?M3,?. V1有代数常数0, V2有代数常数I3, V1?V2有代数常数0, I3. 定理：设V1=S1, ?, V2=S2, ?是同类型的代数系统, V1?V2= S1?S2, ?. 如果 ? 和 ? 运算是可交换(可结合、幂等)的, 那么 ? 运算也是可交换(可结合、幂等)的； 如果e1和e2(θ1和θ2)分别为 ? 和 ? 运算的幺元(零元), 那么e1, e2 ( θ1, θ2 )也是 ? 运算的幺元(零元)； 如果x和y分别为 ? 和 ? 运算的可逆元素, 那么x, y也是 ? 运算的可逆元素, 其逆元就是x-1, y-1. 注：积代数也保留因子代数的分配律和吸收律等性质，但不保留消去律. 例： V1=Z, ? , V2=Z, ?， V1和V2中的?运算都满足消去律； V1?V2中?运算不满足消去律 0, 1?2, 3 = 0, 3 = 0, 1?4, 3 0,1不是零元,若消去,则2,3=4,3,错误. 9.3 代数系统的同态与同构 定义1. 设V1=S1, ? ,V2=S2, ?是同类型的代数系统, 如果存在映射f: S1→S2满足 对?x, y?S1有 f(x?y)=f(x)?f(y), 则称f是V1到V2的同态映射,简称同态． x y f(x) f(y) x?y f(x?y)=f(x)?f(y) 先运算后取像等同于 先取像后运算 定义1. 设V1=S1, ? ,V2=S2, ?是同类型的代数系统, 如果存在映射f: S1→S2满足 对?x, y?S1有 f(x?y)=f(x)?f(y), 则称f是V1到V2的同态映射,简称同态． 注: (1) 若f是单射, 则称为单同态; 若f是满射, 则称为满同态, 记作V1?V2; 若f是双射, 则称为同构, 记作V1?V2 (2) 若f: V?V, 则称为自同态. 例1. (1) 设V1 =Z,＋, V2=Zn,?, 其中＋是 普通加法, ?是模n加法, 令 f: Z→ Zn , f(x)=(x)modn, 证明: f 是V1到V2的满同态. 证: 显然 f 是满射. ?x, y∈Z, f(x＋y)=(x＋y)modn=(x)modn?(y)modn =f(x)?f(y), 所以 f 是V1到V2的满同态. f(0)=(0)modn =0 注: 满同态映射把幺元映到幺元. 例1. (2) 设V=Z,＋, 给定a∈Z, 令 fa: Z→Z, fa(