二项分布的期望和方差的证明.docVIP

二项分布期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。 ??? 如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。 ??? 如果令=(1-p)，那么很容易得出发生次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。 ??? 现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。 ??? 首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ ? ? =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ ? ? =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ) ? ? =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2) 所以Dξ?=E(ξ^2)－Eξ^2 ? ? 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ?=0，n}ξ*Cξ?，n}*p^ξ?*q^(n-ξ) ? ? =∑{ξ?=0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ?*q^(n-ξ) ? ??=∑{ξ?=1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ?*q^(n-ξ) ? ??=n*p*∑{ξ?=1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ) ? ??=n*p*(p+q)^(n-1) ? =n*p ??? 如果要计算方差，根据公式Dξ?=E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下， Dξ?=E(ξ^2)－Eξ^2 ? ? ?=∑{ξ?=0，n}ξ^2*Cξ，n}*p^ξ?*q^(n-ξ) －?n*p*∑{ξ?=0，n}ξ*Cξ?，n}*p^ξ?*q^(n-ξ) ? ???=n*p*∑{ξ?=1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)?*q^(n-ξ) －?n*p*∑{ξ?=1，n}ξ*Cξ?，n}*p^ξ?*q^(n-ξ) ? ???=n*p*∑{ξ?=1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－Cξ?，n}＋C{ξ?，n}*q) ? ???=n*p*∑{ξ?=1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[Cξ?，n}*q－(Cξ?，n}－C{ξ-1，n-1})] ? ???=n*p*[∑{ξ?=1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*Cξ?，n}*q－∑{ξ?=1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}] ? ???=n*p*[∑{ξ?=1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ?=1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!] ?????=n*p*[∑{ξ?=1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ?=1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)] ? ????=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)] ? ????=n*p*[n*q－(n-1)*q] ? ????=n*p*q ? ? 以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……