解析函数孤立奇点和留数.ppt

第十章 函数项级数 第一节 函数项级数简介 第二节 幂级数 第三节 Laurent级数 第四节 解析函数的孤立奇点及留数 第五节 Fourier级数 * * 4.1 孤立奇点及其分类 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 定义4.1 若 在 不解析，但在 的某一去心邻域 内解析，则称 是 的孤立奇点。 （1） 为 的可去奇点： 若 中无负幂项 根据Laurent级数的形式分类： 设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域 内 ， 的Laurent 展式为: 孤立奇点可按以下两种方式分类： （3） 为 的本性奇点： 若 中负幂项有 无穷多项 （2） 为 的( m 级)极点： 若 中负幂项只有 有限项(m项) 根据 的极 限分类： 定义 维尔斯特拉斯，1876 性质1 性质2 例1 求下列函数的奇点，并指出其类型： 解 解 解 解 以上讨论了当 为有限奇点时，孤立奇点的分类。 现讨论若 在无穷远点的去心邻域内解析（这时 Laurent 展式为: Laurent 展式为: 例如 关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况 或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式 必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。 二.留数 设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域 内 ， 的Laurent 展式为: 无穷远点处的留数 留数计算法： 证明 2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式 这不影响证明结果。 的系数 中可能有一个或几个为零， 例2 求下列函数的奇点并计算留数： 解 法1 法2 法3 解 解 法1 所以，0为 的三级极点，且 法2 因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点， 所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得 三.留数定理 定理4.1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，L是D内包围诸奇点的一 条逆时针方向简单闭曲线，那么 由复合闭路定理,得留数定理 利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分， 转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。 定理4.2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个 点）的留数的总和必等于零,即 孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括 例3 计算下列积分： 由留数定理1，得 * *