第7章最小二乘法正式版.pptVIP

第七章 最小二乘法 最小二乘法给出了数据处理的一条准则，即在最小二乘意义下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小。 本章仅涉及独立测量数据的最小二乘法处理。以等精度线性参数的最小二乘法为中心，叙述最小二乘法原理，正规方程和正规方程的解，以及最小二乘法的精度估计。 7.1最小二乘法原理 设有一金属尺，在温度 条件下的长度可表示为 要求给出 与 的数值。 数据处理方法： 最小二乘法指出，在测量数据是无偏、正态和独立的条件下， 与 的最可信赖的结果应在测量的残差 的平方和 为最小的条件下求得。 式中， 为最小二乘估计量。 测量数据越多，求得的 与 值就越可靠。 最小二乘法的一般表述（Ⅰ）： 为确定t个未知量 的估计量 分别直接测量n个直接量 ，得测量数据 。 最小二乘法的一般表述（Ⅱ）： 测量数据 的残差应为 即 式(7-3)或式(7-4)成为残差方程。 最小二乘法的一般表述（Ⅲ）： 若测量误差是无偏的（ ，即排除系统误差），服从正态分布，且相互独立，并设其标准差分别为 ，则测量结果出现 在 附近 区域内的概率（图7-1）为 最小二乘法的一般表述（Ⅳ）： 根据概率乘法定理，给测量数据同时出现的概率应为 最小二乘法的一般表述（Ⅴ）： 因结果是估计量，上述条件应为残差形式 线性参数的最小二乘法： 线性参数测量方程的一般形式 ： 最小二乘原理的矩阵形式（Ⅰ）： 设 最小二乘原理的矩阵形式（Ⅱ）： 等精度测量时，最小二乘条件的矩阵形式为 或 不等精度测量的处理方法（Ⅰ）： 只须将残差方程式化为等权的形式。由残差方程式（7-13）可得 不等精度测量的处理方法（Ⅱ）： 残差方程化为 7.2正规方程 按最小二乘条件，将残差方程转化为有确定解的代数方程组（称为最小二乘法的正规方程，或法方程），其方程式数目正好等于未知数的数目，从而可求解出这些未知参数。 一、线性参数等精度测量数据最小二 乘法处理的正规方程 对残差方程平方和 求偏导数，并令其为0，可获得一组有确定解的方程，其解即为满足 的最小二乘估计量。 正规方程的通式： 对 求二阶偏导，结果恒为正值，则当 一阶偏导为0时，所求得的极值即为极小值。 通式方程组的特点： （1）沿主对角线分布的是平方项系数，都为正数，即 （2）以主对角线为轴对称分布的各系数彼此两两相等，如 与 相等， 与 相等。 正规方程的矩阵形式： 将正规方程中第r个方程式改写为 例7-1： 设有如下等精度测量的残差方程 二、线性参数不等精度测量数据最小 二乘法处理的正规方程 对 求各阶偏导数，并令其为0，经整理可得 正规方程的矩阵形式： 将正规方程式（7-28）分别展开，整理后得 例7-2（Ⅰ）： 已知测量方程 对 的测量数据及其相应的标准差分别为 试列出最小二乘法处理的正规方程。 例7-2（Ⅱ）： 解：列出残差方程 三、非线性参数最小二乘法处理的正 规方程 函数 为非线性函数；残差方程亦为非线性方程组。 残差方程的线性化（Ⅰ）： 将函数在 处展开，取一次项，则有 残差