第5章–课件–5–4〔5.4平面与空间直线〔2.pptVIP

5.4 平面与空间直线 一、两直线的夹角 二、直线与平面的夹角 解 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第5章 空间解析几何 高等数学A 5.4 平面与空间直线 5.4.6 两直线的夹角 5.4.7 直线与平面的夹角 5.4.8 平面束 两直线的夹角 空间直线及其方程 习例1-2 直线与平面的夹角及习例3 补充内容1---点到直线的距离 补充内容2---异面直线的距离 补充内容3---平面束方程 习例4-5 小结与思考题1-2 平面与空间直线 习题课 内容小结 题型小结 典型习例 定义 直线 直线 ^ 两直线的方向向量的夹角（锐角） 称之为两直线的夹角. 两直线的夹角公式 两直线的位置关系： // 直线 直线 例如， 习例 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 代入平面方程得 , 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． ^ ^ 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： // 解 为所求夹角． 的距离 为 到直线 补充1点 d 补充2 空间两异面直线的距离 n C D 设 为两异面直线，其公共法向量为 n, C、D分别是 上任一点，则 间的距离 可转化为向量 在n上的射影长， 故 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值. 补充3 过直线L的平面束方程 设直线L ： A1x+B1y+C1z+D1=L1(x, y, z)=0, ?1 A2x+B2y+C2z+D2=L2(x, y, z)=0, ?2 A1x+B1y+C1z+D1+?(A2x+B2y+C2z+D2)＝0, 称为过直线L的平面束方程. A1 ,B1 ,C1与A2 ,B2 ,C2不成比例，所以对于任意一个实数?，方程 习例 例4. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 例5. 求过直线L: 且与平面 夹成 角的平面方程. 例4. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程 例5. 求过直线L: 且与平面 夹成 角的平面方程. 提示: 过直线 L 的平面束方程 其法向量为 题中所给平面的法向量为 选择 使 从而得所求平面方程 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. 点到平面的距离公式. 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置特征） 三、小结 空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. 直线与平面的夹角. （注意两直线的位置关系） （注意直线与平面的位置关系） 思考题1 解 思考题2 解 且有 故当 时结论成立． 一、内容小结 向量 代数 2. 空间解 析几何 二、题型及方法 1. 向量的运算及应用 2. 求空间直线方程 3. 求平面方程 4. 求距离 5. 求投影 三、典型习例 解 证