〔一元二次不等式及其解法〕典型例题透析.docVIP

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3） 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 所以方程的两个实数根为：， 函数的简图为： 因而不等式的解集是. 方法二： 或 解得 或 ，即或. 因而不等式的解集是. （2）方法一： 因为， 方程的解为. 函数的简图为： 所以，原不等式的解集是 方法二：（当时，） 所以原不等式的解集是 （3）方法一： 原不等式整理得. 因为，方程无实数解， 函数的简图为： 所以不等式的解集是. 所以原不等式的解集是. 方法二：∵ ∴原不等式的解集是. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ；(2) (3) ； (4) . 【答案】 （1）方法一： 因为 方程的两个实数根为：， 函数的简图为： 因而不等式的解集是：. 方法二：∵原不等式等价于, ∴ 原不等式的解集是：. （2）整理，原式可化为, 因为, 方程的解，， 函数的简图为： 所以不等式的解集是. （3）方法一： 因为 方程有两个相等的实根：， 由函数的图象为： 原不等式的的解集是. 方法二：∵ 原不等式等价于：, ∴原不等式的的解集是. （4）方法一： 因为，方程无实数解， 由函数的简图为： 原不等式的解集是. 方法二：∵， ∴ 原不等式解集为. 【变式2】解不等式： 【答案】原不等式可化为不等式组 ，即，即， 解得 ∴原不等式的解集为. 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。 思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和 由韦达定理有， ∴， ∴化为，即 ，解得， 故不等式的解集为. 总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为{x|-3x2}，则a=_______, b=________。 【答案】由不等式的解集为{x|-3x2}知a0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。 由根与系数关系得 解得a=-2, b=-2。 【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式. 【答案】由韦达定理有：，，∴,. ∴代入不等式得， 即，，解得， 故不等式的解集为：. 【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得 ，即，解得或. ∴的解集为：. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析： (1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。 (2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时， 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 所以， 即， ∴ 1m19。 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m19}。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围. 【答案】关于的不等式的解集为空集 即的解集为R 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：. 【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围. 【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去. 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即，解得， 综上，的取值范围为：. 【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围. 【答案】当时，原不等式