2016新课标三维人教B版数学选修2–13.1空间向量及其运算.docVIP

3．1空间向量及其运算 3．1.1　空间向量的线性运算 空间向量的概念 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)． 问题1：以上三次位移是同一个平面内的向量吗？ 提示：不是． 问题2：如何刻画李老师行驶的位移？ 提示：借助于空间向量的运算． 空间向量的概念 (1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫做向量． (2)零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0. (3)长度：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|a|. (4)基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线． (5)共线向量(平行向量)：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b，记作ab.规定零向量与任意向量共线. 空间向量的加法、减法和数乘向量运算 问题1：空间两向量的加法、减法和数乘向量的运算与平面内两向量的运算完全一致吗？ 提示：完全一致．因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内． 问题2：空间向量的加、减运算能用平行四边形法则和三角形法则吗？ 提示：能用． 1．空间向量的运算法则 如图，已知两个不平行的向量a，b，作向量＝a，＝b.这时，O，A，B三点不共线，于是这三点确定一个平面． 有以下结论： (1)a＋b＝＋＝＋＝ ； (2)a－b＝a＋(－b)＝＋＝＝＝－ ； (3)当λ0时，λa＝＝λ ；当λ＝0时，λa＝0；当λ0时，λa＝＝λ . 2．空间向量的加法、减法和数乘向量运算 (1)加法交换律　a＋b＝b＋a； (2)加法结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律　(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变． (5)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般的说，向量不能比较大小； 2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行； 3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量； 4．λa是一个向量，当λ＝0或a＝0时，λa＝0； 5．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立． 空间向量的概念辨析 [例1]　下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [思路点拨]　根据向量的概念及运算律两方面辨析． [精解详析]　|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定，对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确． [答案]　B [一点通]　 (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件． (2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 1．给出下列命题： 零向量没有确定的方向； 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝； 若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反． 其中正确命题的序号是________． 解析：正确；正确，因为与的大小和方向均相同；|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定． 综上可知，正确命题为. 答案： 2．下列四个命题： (1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a、b满足|a||b|且a、b同向，则ab； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中正确命题的序号为(　　) A．(1)，(2)，(3)　　　　 　B．(4) C．(3)，(4) D．(1)，(4) 解析：对于(1)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B 空间向量的线性运算 [例2]　已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： (1) －； (2) ＋＋； (3)＋－ [思路点拨]　借助向量运算的三角形法则和平行四边形法则进行运算． [