2015年高三数学(理)一轮复习讲义：7.7立体几何中的向量方法(一)–证明平行与垂直(人教A版).docVIP

第7讲　立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 [必威体育精装版考纲] 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m lα n⊥m?m·n＝0 lα n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m. αβ n∥m?n＝λm αβ n⊥m?n·m＝0 辨 析 感 悟 1．平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系 (3)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±.(√) (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√) [感悟·提升] 1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨． 2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线ab，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等. 学生用书第125页  考点一　利用空间向量证明平行问题【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN平面A1BD. 审题路线　若用向量证明线面平行，可转化为判定向量，或证明与平面A1BD的法向量垂直． 证明　法一　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M， N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1. n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ⊥n， 又MN平面A1BD， MN∥平面A1BD. 法二　＝－＝－＝(－)＝.∥， 又MN与DA1不共线， MN∥DA1， 又MN?平面A1BD，A1D平面A1BD， MN∥平面A1BD. 规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 【训练1】 (2013·浙江卷选编)如图，在四面体A－BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ平面BCD. 证明　如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)． 设点C的坐标为(x0，y0,0)， 因为＝3， 所以Q. 因为点M为AD的中点，故M(0，，1)． 又点P为BM的中点，故P， 所以＝. 又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a＝0. 又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD. 考点二　利用空间向量证明垂直问题 【例2】 (2014·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：APBC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC平面BMC.证明　(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz. 则O(0,0,0)，A(0，－3,0)， B(4,2,0)，C(