【2017年整理】《力学》期中试卷解答.docVIP

物理科学与技术学院2008级物理基地班、物理学类、物理中法班 《经典力学》(上)课程期中考试试卷参考解答 2009/4/27 （15分）Q沿抛物线运动，且质点的矢径在y轴上的投影为。试求该质点的运动速度，加速度，以及抛物线的曲率半径。 【解】由及 ，可得 对时间求导： ，， 再次对时间求导：，， 由切向加速度 ，求得法向加速度为 由 求得曲率半径为： （15分）质量为m的小物块栓在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的平面上以角速度ω0作半径为r0的圆周运动, 自t=0时刻起, 手拉着绳子的另一端以匀速向下运动, 使半径逐渐减小试求 (1) 物块的角速度ω与时间t的关系, (2) 绳子的张力与时间t的关系。径向：，横向：，，，，。，或 得到 。即有 ④ 结果代入①式： ⑤ （15分）L的光滑管道，绕过其一端的竖直轴以匀角速ω0转动。在管中有一小球从另一端以速度向中心轴O滑动。（1）求小球滑到距O点为 r时的速度；（2）求小球滑到距O点为L/2处所需的时间；（3）小球能否到达O处。 【解答】（1）以管子为参照系（s’），小球在沿管子的径向受力为惯性离心力：F＝mω02r， 即有 ， 两边积分得：，代入v0=Lω0得到 v2=ω20r2 即 v = －ω0r （v的方向是径向之负） （2）由 , 即 。当时， （3）若r→0，则t→∞，所以小球不可能到达O点。 （15分）A，质量为M0的圆盘在一常力F的作用下，从静止出发沿着与圆盘面成垂直的方向，在具有均匀的体积密度为ρ的尘土中运动，尘土以常数速率V作与圆盘相反的方向运动。假如同圆盘相遇的尘土皆粘在圆盘上，求任意时刻t，圆盘的速度及移动的距离。 【解】这是变质量问题，考虑变质量动力学方程： 以上：（常量），方程变为：。两边积分 得到 ② 据题意，当t = 0时，m = M0，v = v0 = 0，则有 ③ 得到 ④。据题意 ⑤ 则有 ⑥。代入④式得到 ，即 ，整理得到 ⑦ ⑦代入④式可得 ⑧ 考虑⑤式 ，两边积分有 ，可得到 ⑨ （15分）m的小球用长为l的轻绳悬挂于支架的O点上，支架固连在矩形木板上，板与支架的质量为M，整个装置放在光滑的水平桌面上。今将小球拉至A点，即绳处于水平位置，在小球与木板均处于静止的情况下释放小球。 求当小球落到最低位置C时木板的运动速度vM和小球的运动速度vm A点运动到C点的过程中，绳子的张力对小球是否作功？若作功，则求出此功。 【解答】（1）小球，木板系统机械能守恒，以A点的水平位置为势能零点，则有 因为系统在水平方向无外力，故水平方向动量守恒， 即有 即 两式联立解得 （2）分析：将小球与木板看作合系统，张力是内力。以地面系来看，设张力对小球为Am，张力对木板做的功为AM。而一对内力作功与参考系无关，以M为参照系，小球运动速度方向总与张力方向垂直（圆周运动），张力不作功，则有 Am＋AM＝0，所以有 Am＝－AM。张力对木板作功使之获得动能，应有 ， （10分）长为L、线密度为λ的柔软绳索，原先两端A、B并合在一起，悬挂在支点上。现让B端脱离支点自由下落，求B端下落了x时，支点上所受的力。 【解】以A点为坐标原点，软绳系统的质心为 ① 对时间求导得 ②，， ④ 所以有 ⑤ 根据 ⑥ 可得 ⑦ 当 时，；当时，15分）检验如下作用在质点上的力是否为保守力？若是保守力，求出其势函数。 【解】 满足 ，所以F是保守力。 求势函数Up。据定义 得到 2题图 3题图 5题图 6题图