2017高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理的应用课件理要点.ppt

撬点·基础点 重难点 撬法·命题法 解题法 撬题·对点题 必刷题 学霸团 · 撬分法 · 高考数学·理 * 第十一章　计数原理 第2讲　二项式定理 考点　二项式定理的应用 撬点·基础点 重难点 撬法·命题法 解题法 撬题·对点题 必刷题 1　二项式定理 公式叫做二项式定理．公式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示． 2　二项式系数的性质 (1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. (2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大；当k时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大． (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(nN*) (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即. (4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 注意点　二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关. C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 1．思维辨析 (1)在二项展开式中第k项为Can－kbk.(　　) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (5)(a＋b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同．(　　) × √ × √ √ 2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　) A．80 B．40 C．20 D．10 解析　Tk＋1＝Can－kbk＝C15－k(2x)k＝C×2k×xk，令k＝2，则可得含x2项的系数为C×22＝40. 3．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是(　　) A．－2 B．－3 C．125 D．－131 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又(1－2x)7展开式中第r＋1项Tr＋1＝C(－1)r2rxr，a0＝C(－1)020＝1，a8＝C(－1)727＝－128，a1＋a2＋…＋a7＝125. 　[考法综述]　利用二项式定理求展开式的通项、特定项．二项式或项的系数或项的系数的最值，也可在二项式定理中进行赋值，利用赋值法进行求值． 命题法1　求二项展开式中项或项的系数 典例1　　(1)8展开式中x4的系数是(　　) A．16 B．70 C．560 D．1120 (2)已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. 求展开式中二项式系数最大的项； 求展开式中系数最大的项． [解析]　(1)根据所给的二项式写出展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝2rCx16－3r. 令16－3r＝4，得r＝4， 故x4的系数是C×24＝1120. (2)令x＝1， 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ＝2n＝32，n＝5. ①∵n＝5，展开式共6项， 二项式系数最大的项为第三、四两项， T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6， T4＝C(x)2(3x2)3＝270x. 设展开式中第k＋1项的系数最大， 则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx， 得≤k≤，k＝4， 即展开式中系数最大的项为 T5＝C(x)(3x2)4＝405x. 【解题法】　求二项展开式中特定项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)． (1)