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(A ) (A ) 四 川 大 学 期 未 考 试 试 题 参考答案((AA 卷)) （2006——2007 学年第二学期） 一、 解：该矩阵博弈无优超策略，所以直接用2*n 矩阵求解法求解。设局中人1 采用 混合策略(x,1-x)，这里x∈[0,1]，局中人2 的策略为（y ，y ，y ）。 1 2 3 则V= max F(x) ， x∈[0,1] F(x) = min{5x+2(1 − x), 3x+6(1 − x), 4x+3(1 − x)} 令z= 3x+2, z= 6 −3x, z= x+3 。则可在平面上作如下三条直线，分别代表剧中人2 在 采用三个纯策略时局中人1 采用混合策略时的收益。下图中的粗线是F（x）的图像。 z= 6 −3x z= x+3 S z= 3x+2 2 1 在图中的S 点时F（x）达到最大值，则点S 坐标为局中人1 的混合策略纳什均衡点( , ) ， 3 3 博弈值为 。 4 由于局中人的纳什均衡点只与局中人2 的策略1 和2 相关，因此可替换为求解下面的矩阵博弈 1 1 ，根据2*2 矩阵博弈求解方法有：y = , y = 。 1 2 2 2 2 1 1 1 则综上有，原矩阵博弈的纳什均衡点为（( , ) ，( , ，0) ），均衡值为4。 3 3 2 2 二、解: (1). ⎡3 4 ⎤ ⎡8 4 ⎤ A= ⎢ ⎥ B= ⎢ ⎥ ⎣6 2⎦ ⎣4 6⎦ 设 局 中 人 1 的 混 合 策 略 为 X = (x,1 − x), x∈[0,1] , 局 中 人 2 的 混 合 策 略 为 Y= (y,1 − y), y∈[0,1] . 由上面推导的: Q= −4 q= −2 R= 6 r= 2 则( X,Y) = ((x,1− x), (y,1− y)) 为纳什均衡,应满足下面两个不等式组: ⎧x= 0, -4y ≤ −2 ⎪ ⎨0 x1, -4y= −2 ⎪ ⎩x=1, -4y ≥ −2 ⎧y= 0, 6x ≤ 2 ⎪ ⎨0 y1, 6x=2 ⎪ ⎩y=1, 6x ≥ 2 将上面两个不等式作图,如下所示: 由该图可知,有唯一的点 A(1 / 3,1 / 2) 满足两个不等式.因而该博弈的纳什均衡分别为