电阻磁流体模式-聚变理论与模拟中心.doc

2008全国等离子体物理暑期学校讲义电阻磁流体模式王晓钢（北京大学）第一节：等离子体中的电阻磁流体模式1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应 1.2 Spitzer电阻与欧姆定律 1.3 反常电阻 1.4 电阻磁流体模式简介 第二节：磁重联与经典撕裂模理论2.1 等离子体中的磁重联现象 2.2 磁重联的基本概念与模型 2.3 托卡马克FKR撕裂模理论 2.4 Rutherford非线性撕裂模理论 第三节： 3.1 驱动磁重联的Taylor模型 .2 旋转磁岛的饱和 3.3 误差场与锁模第四节：锯齿振荡 4.1 托卡马克的小破裂现象 .2 有理面m=1上的扭曲—撕裂模 4.3 锯齿振荡的Kadomtsev模型 .4* 锯齿振荡的快磁重联模型 第一节：等离子体中的电阻磁流体模式 1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应 我们先来回顾一下理想磁流体理论。前面介绍过，理想磁流体力学方程组是： 连续性方程： (-01) 力平衡方程： (-02) Ohm定律： (-03) 状态方程： 。 (-04) 这里，，以及（），。。此外，比热系数是决定等离子体过程状态的参数：对应等温过程；对应绝热过程；对应不可压缩过程。这一组10个方程，对应10个函数：，，，和。 ， (1-05) 这里用到了Ampere定律（我们先把电流作为一个数学记号）。如果初始平衡时静态的，则，我们可以得到 。 (1-06) 而由线性化的（1-02）可以得到 。 (1-07) 对一个二维的Harris电流片模型的平衡 ， (1-08) 这里，扰动可以写成 。 (1-09) 于是对这样一种平衡位形，有 (1-10) 这里 。 (1-11) 于是，能量积分（1-05）可以写成下面形式 (1-12) 这里 (1-13) 其中 (1-14) 是磁场的自由能； (1-15) 是等离子体可压缩性引起的自由能变化；而表征不稳定性的MHD流体动能 (1-16) 显然总是正定的。如果（1-12）的面积分项等于零，则Harris电流片的理想MHD稳定性的充分条件是 ： 。 (1-17) 如果等离子体是不可压缩的，则常数，产生不稳定性的充分必要条件是：。 磁场自由能的表示式（1-14）可以写成 ， (1-18) 这里扰动磁通。然后利用变分原理可以得到 。 (1-19) 这个方程的严格解是 ， (1-20) 这里我们已经用到边界值等于零的边界条件。 对于磁通来说，这个解是连续的；但是在平面上磁场不连续；这导致在这个面上的电流的函数型奇异性（-function singularity）！ 另一个典型的例子是Alfvén共振（参见陈骝：《Alfvén波物理讲义》），对于扰动位移是对数奇异性（logarithmic singularity），而对于其它扰动量则是“幂律”奇异性（power-law singularity）。 这些奇异性本质上不是物理的。只是因为我们在做理想磁流体近似的时候忽略了小尺度效应：比如耗散或者动理学效应（kinetic effects）。动理学效应我们以后讲。这里我们主要讨论耗散效应。 1.2 Spitzer电阻与欧姆定律 的奇异性，那么粘滞是主要的耗散机制；这里是电流的奇异性，所以电阻就成为主要的耗散机制。经典的等离子体电阻被称为Spitzer电阻， (1-21) 得到“广义Ohm定律” ， (1-22) 这里，被称为Spitzer电阻，所以Spitzer电阻Alfvén速度。如果等离子体的特征宏观尺度（比如Harris电流片的宽度）为，则用这个速度可以得到特征时间尺度，。用上述特征时空尺度来归一化（1-22），可以得到 ， (1-23) 这里，，，。其中前两项是尺度，第三项电子惯性项是尺度。最后一项电阻项：由于对于电磁扰动，而电流（Coulomb规范），显然其归一化特征尺度是。则在，的近似下，我们得到理想MHD的Ohm定律（无量纲）。这时等离子体与磁力线“冻结”在一起运动。所以（1-23）式右边的任何一项都可以破坏这种“冻结”（frozen in）效应，导致等离子体的“退磁化”。其中，如果碰撞频率高到一定程度，使得，则（1-23）右边的碰撞项可能比其它几项更为重要，那么（1-23）变成常见的Ohm