5–1整除性辗转相除.ppt

第五章 数论基础 第五章 数论基础 §5.1 整除性 辗转相除 §5.2 互质 质因数分解 §5.3 合同 一次同余式 §5.4 秦九韶定理 Euler函数 §5.5 一元高次同余式 二次剩余 §5.1.1 整除及其性质 定义5.1.1 设a和b是任意整数，若存在整数c，使得a=bc，则说a是b的倍数，b是a的因数。或者说a被b整除，而b整除a。记为b|a。 显然，任意数整除0，特别0|0；1（-1）整除任意整数。 定理5.1.1 对任意整数a和b，b?0，唯一存在一对整数q和r，使得0≤r＜|b|， a=qb+r。q称为(不完全)商数，r称为a被b除的余数。 证明：（1）当b＞0时，存在性成立。 看函数 y=bx, x?Z。因为b＞0，所以y是x的单调递增函数，且当x?+∞时，y?+∞；当x?-∞时，y?-∞,从而存在q，使得x=q时，y≤a；x=q+1时y?a。即 bq≤a，b(q+1) ?a。令r=a-bq，则r≥0且r?b。于是 a=qb+r, 0≤r＜b。 定理5.1.1 （2）当b=-b’? 0时，存在性成立。 由(1)知，存在q’，r’，使得a=q’b’+r’，0≤r’?b’。取q=-q’，r=r’，则得a=-qb’+r =qb+r，0≤r?-b。  综合(1)，(2)对任意b (b?0)，都有q，r，使得 a=qb+r 0≤r? |b| …………(?) 定理5.1.1 （3）q和r的唯一性。 设另有一对q’和r’满足 a=q’b+r’ 0? r? |b| …………(??) 则(??) - (?)得 r’-r=(q-q’)b，从而有 |r’-r|=|q-q’||b|。注意到 |r’-r|?|b| ，而|q-q’|?0为整数，所以必有|q-q’|=0，从而 |r’-r|=0。即 q=q’，r=r’。所以，唯一性成立。 由整除的定义，易得如下推论： b|a，(b?0) 当且仅当a被b除的余数为0。 整除的基本性质 性质1 若a|b，b|c，则a|c 证明：因为a|b，b|c，故有整数d，e使b=ad，c=be，因之，c=a(de)。但de是整数，所以a|c。 性质2 若a|b，则a|bc 证明：由定义知，b|bc。今a|b，故由性质1，a|bc 整除的基本性质 性质3 若a|b，a|c，则a|b?c。 证明：因为a|b，a|c，故有整数d，e使b=ad，c=ae。因之，b?c=a(d?e)。但d?e为整数，所以a|b?c。 性质4 若a整除b1,…,bn, 则a|λ1b1+…+λnbn，其中λi为任意整数。 证明：因为a|bi，故由性质2，a|?ibi。因为a|?1b1，a|?2b2，故由性质3，a|?1b1+?2b2。由此及a|?3b3，又有a|?1b1+?2b2+?3b3。如此类推归纳证明了a|?1b1+…+?nbn。 整除的基本性质 性质5 若在一等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数。 证明：这是性质4的直接推论。 例如，在等式b-c=-d+e+f中，设b，c，d，f都是a的倍数，求证e也是a的倍数。解出e得e=b-c+d-f。由性质4，此式右边是a的倍数，故e是a的倍数。 整除的基本性质 性质6 若a|b，b|a，则b=?a。 证明：由条件知，或者a=b=0，或者a，b都不为0。若a=b=0，则b=?a自然是对的。若a，b都不是0。因为a|b，b|a，故有整数d，e使b=ad，a=be，从而a=ade。消去a得1=de。今d，e是整数而相乘得1，故此二数必然都是?1，因而b=?a。 整除的基本性质 定义5.1.2 若d是a的因数也是b的因数，则称d为a，b的公因数。若d是a，b的公因数，而a，b的任意公因数整除d，则称d为a，b的最高公因数。a，b的最高公因数通常记为d=(a,b)。 整除的基本性质 性质7 设a=qb+c，则a，b的公因数与b，c的公因数是完全相同的。 证明：若d是b，c的公因数，则由上式及性质5，d也是a的因数，因而是a,b的公因数。反之，若d是a，b的公因数，则由上式及性质5，d也是c的因数，因而是b，c的公因数。 最高公因数的定义只是说，如果有那样的d，则d叫做a，b的最高公因数。对于任意的a，b是否有那样的d呢？现在还不知道，等下面再研究。不过，有一点是容易说明的：如果a，b有最高公因数，则最高公因数除符号外唯一确定。事实上，若d和d都是a，b的最高公因数，则d|d，d|d，因而由性质6知，d=±d。 5.1.2 辗转相除 现在我们来看，是否任意a，b有最高公因数？ 若b|a，则由定义易见，b就是a，b的最高公因数。