3.1.3〔空间向量的数量积运算〕课件.ppt

2. 两个向量的数量积： 4. 空间向量数量积运算律 ⑴ * * 复习回顾： 1.共线向量定理： 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有： 3.共面向量定理： 4.P、A、B、C四点共面充要条件： 如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使 1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 , 作 则 叫做 向量的夹角. 1 2 关键是起点相同！ 记作: o B A 讲授新课 A O B 注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。 A B A B 3、射影 l 3、空间向量数量积的性质 应用: 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到. ⑵ ⑶ （数乘结合律） （分配律） （交换律） 注意： 数量积不满足结合律， 也不满足消去率 思考： 巩固练习： 巩固练习： 3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. A D C B a b c 解：∵ 巩固练习： 空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. 例题讲解 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 逆命题成立吗? 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足 则△BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 C A B C D 巩固练习： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理! m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例2、已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . A B A1 C1 B1 C 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A. B. C. D. B 巩固练习： 利用向量解决几何问题的一般方法： 把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，最后解决问题. 解： 2.已知在平行六面体　　　　　　　 , 求对角线 的长. 巩固练习： 例1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，，且， 求证： 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！ 适当取向量尝试看看！ 三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. ① 即 (求线段的长度); ②(垂直的判断); ③ (求角度). 以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题. 也有下列三个重要性质： 1.设,,是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则： ①(·)(·)=0 ②||-|||| ③(·)(·)不与垂直 ④(