例说旋转变换在几何证明中运用.docVIP

细说旋转变换在几何证明中的运用 将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方便。下面略举几例说明它在几何中的运用。 如图：E为等边三角形ABD的BD边上一点，是AE延长线上一动点， 问∠BCD等于多少度时，有CD+BC=AC. 2、如图：∠ABC=30O，∠ADC=600，AD=CD。 求证： 3、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，P为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3, 求：∠BPC的度数。 4、已知点E,F在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠DAF=∠EAF, 求证：DF+BE=AE。 5、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD, ∠BAE=∠BCD=1200, ∠ABC+∠AED=1800,求证：AD平分∠CDE。 6、如图，E、F为△ABC中BC边的三等分点，BM是AC边的中线， AE、AF分BM为x、y、z三部分，（x＞y＞z）,求x：y：z。 7、在△ABC中，∠A=200,AB=AC, ∠DBC=500 ∠ECB=600, 求∠DEC。 旋转及旋转变换 1.如图，王虎使一长为4，宽为3的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ） A．10 B． C． D． 2.（2003 黄冈市）如图4－4－10，把直角△ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AC=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线与直线l围成的面积为________． 3.如图：已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，给出以下五个结论：①②③是等腰直角三角形④ ⑤．当在内绕顶点旋 转时（点不与，重合），上述结论中始终正确的序 号有 ． 4. 如图，直线y=x +2与x轴，y轴分别相交于点A，B． 将△ AOB绕点O按顺时针方向旋转角(0°≤360°)， 可得△COD. (1)求点A，B的坐标； (2)当=30° (如图2)，CD与OA，AB分别相交于点P，M， OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分 (即四边形OPMN)的面积． 5. 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示） （图1） （图2） （图3） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。 （1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离； （2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度； （3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH （图4） （图5） （图6） 6. 如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE. （2）在旋转过程中,(1)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. 7.如图已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边ABAC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动） ． （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （