2011高考数学一轮复习课件：立体几何中的向量方法〔理〕.ppt

第七节 立体几何中的向量方法（理） 2．利用向量法求线面角的方法． 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． (2010·徐州质检)如图所示，在四棱锥S－OABC中，底面四边形OABC是直角梯形，且∠COA＝∠OAB＝ ，OA＝OS＝AB＝1，OC＝4，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON∶NC＝1∶3，以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系O－xyz. (1)求异面直线MN与BC所成的 角的余弦值； (2)求MN与平面SAB所成的角 的正弦值． (1)求异面直线MN与BC所成的角的余弦值； (2)求MN与平面SAB所成的角的正弦值. 【解】　由题知S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)， 所以N（1，0，0），M （-3，1，0）， ∴直线MN与BC所成的角的余弦值为 (2)设平面SAB的一个法向量为n＝(a，b，c)， 则n· ＝(a，b，c)·(1,1，－1)＝a＋b－c＝0， n· ＝(a，b，c)·(0,1，－1)＝b－c＝0. 令b＝1可得n＝(0,1,1)， ∴直线MN与平面SAB所成的角的正弦值为 2．(2010·江苏四市调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BC 的中点，点E在D1C1上，且D1E＝ D1C1，试求直线EF与平 面D1AC所成角的正弦值． 解：设正方体棱长为1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D－xyz，则各点的坐标分别为B1(1,1,1)， ，连接DB1， 所以 ＝(1,1,1)， 由题意可知， 为平面D1AC的一个法向量， 所以直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为 利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小； 二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 【注意】　利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． (2009·全国卷Ⅰ改编)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝ DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S－AM－B的余弦值． ? 建立空间直角坐标系后，(1)题可以证 (2)题可以先求平面SAM的和平面BAM的法向量．利用法向量求夹角，也可以在平面SAM和平面BAM中分别找一条垂直于AM的直线，然后用向量法求解． 【解】　如图以D为原点，射线DA，DC，DS为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，S(0,0,2)，C(0,2,0)，B( ,2,0)，A( ,0,0)． 解得 所以M为侧棱SC的中点. 又= (0,2,0), 故 即 (2)由M(0,1,1)，A( ，0,0)， 得AM的中点G 因此 等于二面角S－AM－B的平面角． 所以二面角S－AM－B的余弦值为 又 （0，-1，1）， 所以 3．(2010·扬州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是 AB上一点，AE等于何值时，二面角P－EC－D的平面角为 解：以D为原点，射线DA、DC、DP为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，y0,0)，则 ＝(－1,2－y0,0)， 设平面PEC的一个法向量为n1＝(x，y，z)， 解之得x∶y∶z＝(2－y0)∶1∶2， 记n1＝(2－y0,1,2)， 而平面ECD的一个法向量n2＝(0,0,1)， 二面角P－EC－D的平面角θ＝ ∴当AE＝2－ 时，二面角P－EC－D的平面角为 . 则 由于新课程标准对空间距离的求法不作要求，因此，关于空间向量的