2011走向高考贾凤山高中总复习第6篇3–3.ppt

第三讲　二项式定理 重点难点 重点：二项式展开式的通项和二项式系数的性质． 难点：二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别． 知识归纳 1．二项式定理 2．二项式系数的性质 (2)增减性与最大值：二项式系数 二项式系数是递增的；当k 时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项的系数最大．当n是奇数时，中间两项的系数相等且最大． 误区警示 1．通项公式Tk＋1＝ 是第k＋1项，而不是第k项，注意其指数规律． 2．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时，要注意n与k的取值范围． 3．区分某项的系数与某项的二项式系数． 一、赋值法 [例1]　求x(1－x)4＋x2(1＋2x)5＋x3(1－3x)7展开式中各项系数的和． 分析：如果展开各括号，则会使运算量增大，如果设展开后为a0x10＋a1x9＋…＋a9x，则问题转化为求a0＋a1＋…＋a9的值，再令等式中x＝1，即可求解． 解析：在原式中，令x＝1，得1×(1－1)4＋12×(1＋2)5＋13×(1－3)7＝115. ∴展开式各项系数和为115. 总结评述：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题． 二、构造法 [例1]　若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为 (　　) A．3　　　　B．6　　　　C．9　　　　D．12 解析：设x－2＝t，则x＝t＋2， 答案：B A．－1320 B．1320 C．－220 D．220 答案：C 点评：求二项展开式中某些特殊项、常数项、有理项、无理项或它们的系数等问题．利用通项公式写出其一般式，再令其中r取某些特定值是解决该类型问题的常用方法． A．－120 B．120 C．－15 D．15 (2)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 (　　) A．74 B．121 C．－74 D．－121 解析：(1)利用通项公式，令x的指数为4得x4是展开式中的第几项，再回到通项求其系数．∴选C. 答案：(1)C　(2)D A．－540 B．－162 C．162 D．540 (2)若(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9(x∈R)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________． (3)(08·辽宁)已知(1＋x＋x2)(x＋ 的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________. (2)在(1－3x)9展开式中奇数项为正，偶数项为负． 故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝－a1＋a2－a3＋…－a9. 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝49. 令x＝0，得a0＝1.故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝49－1. 由题设条件及多项式乘法运算法则知， n－4r＝0，－1，－2时，展开式中有常数项， ∵2≤n≤8，且n∈N，∴n－4r＝0时，n＝4或8，n－4r＝－1时，n＝3或7，n－4r＝－2时，n＝2或6，∴n＝5. 总结评述： (2)涉及二项式展开式的奇偶项、常数项等问题时，常利用项的特点构造函数赋值解决． (1)(09·全国Ⅰ)(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________． (2)设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋anxn，an－1＝2011，则a0＋a1＋…＋an－1＋an＝________. 答案：(1)－240　(2)22011－2 [例4]　用二项式定理证明：34n＋2＋52n＋1能被14整除． 分析：利用二项式定理证明多项式的整除问题，关键是对被除式进行合理变形，把它写成恰当的二项式形式，使其展开后的每一项都含有除式的因式，即可证得整除． 上式是14的倍数，能被14整除，∴原式得证． 9192除以100的余数是________． 答案：81 一、选择题 A．－45i B．45i C．－45 D．45 [答案]　D 2．(2x－3)5的展开式中x2项的系数为 (　　) A．－2160 B．－1080 C．1080 D．2160 [答案]　B A．45 B．55 C．70 D．80 [答案]　C A．－4 B．－3 C．3 D．4 [答案]　B 二、填空题 [答案]　2 6．(08·福建)