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行列式的计算 摘 要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具.本文从行列式的计算出发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧. 关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法 引 言 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法. 　　1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指???了如何判断一个齐次线性方程组有非零解. 行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习《高等代数》时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦.这里我讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率. 1 基本概念的简单介绍 1.1 n级行列式 定义1 级行列式 （1） 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和.其中是的一个排列，的每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带有负号. 1.2 矩阵 在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计算行列式过程中可能要用到矩阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念. 定义2 由个数排成的行（横的）列（纵的）的表 （2） 称为一个矩阵. 特别地，当时，（1）称为（2）的行列式，如果把（2）记作，则（1）表示为. 定义3 在行列式 中划去元素所在的第行和第列后，剩下的个元素按照原来的排法构成一个级行列式 （3） 称为元素的余子式，记作，而称为的代数余子式，记作： （4） 定义4 我们把 （5） 称为矩阵（2）转置，记作或，显然，矩阵的转置是矩阵. 定义5 在一个级行列式中任意选定行列位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一个级子式. 2 行列式的性质 按照行列式的值可分为以下几类： 性质1 行列式值为0 1) 如果行列式有两行相同，则行列式值为0; 2) 如果行列式有两行成比例，则行列式值为0; 3) 行列式中有一行为0，则行列式的值为0. 性质2 行列式值不变 1) 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变, 即 （6） 其中. 2) 行列互换，行列式值不变, 即 = （7） 3) 如果行列式的某一行是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和, 这两个行列式除这一行外其余与原来行列式对应相同,即 （8） 性质3 行列式的值改变 一行的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行就等于用该数乘以此行列式 （9） 性质4 行列式反号 对换行列式两行的位置，行列式反号 （10） 3 行列式的计算 3.1 一些重要的公式和结论 (1) 行列式按行（或列）展开 设为级方阵，为的代数余子式，则 （11） （12） (2) 设为级方阵，则 （13） (3) 设为级方阵，则 （14） (4) 设为级方阵，则 ,但 （15） , （但一般地） （16） (5) (拉普拉斯定理)设在级行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式. (6) 设为级方阵，为级方阵，则： , 但是： （17） (7) 范德蒙德行列式 （18） (8) 一些特殊行列式的值 （19） 对角行列式 上三角行列式 下三角行