第9炼零点存在的判定与证明教程.doc

第9炼 零点存在的判定与证明 一、基础知识： 1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有那么函数在区间内必有零点即使得 在区间连续如果是分段的那么零点不一定存在在区间连续，则一定存在零点但不一定只有一个零点要分析的性质与图像如果单调则一定只有一个零点，则一定存在零点也不一定没有零点如果单调那么一定没有零点在区间中存在零点则的符号是不确定单调则一定小于是一个单增连续函数是的零点且则时；时 6、判断函数单调性的方法： （1）可直接判断的几个结论： ① 若为增减函数则也为增减函数为增函数则为减函数则为增函数且则为增函数的单调性可分别判断与的单调性的范围求出的范围若均为增函数或均为减函数则单调递增若一增一减则单调递减此规律可简记为同增异减 （3）分析函数的性质并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间的零点所在的一个区间是 B. C. D. 思路：函数为增函数所以只需代入每个选项区间的端点判断函数值是否异号即可 ， ，使得 的零点所在的大致区间是 B. C. D. 思路：先能判断出为增函数然后时，从而，所以使得 时是利用对数的性质得到其的一个趋势从而确定符号那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向时后也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明比如正是在已分析清楚函数趋势的前提下才能保证快速找到合适的例子是函数的一个零点若则 B. C. D. 思路：条件给出了的零点且可以分析出在为连续的增函数所以结合函数性质可得 ，当时函数的零点________ 思路：由的范围和解析式可判断出为增函数所以是唯一的零点考虑，所以从而 例5：定义方程的实数根叫做函数的新驻点若的新驻点分别为则 B. C. D. 思路：可先求出，由新驻点的定义可得对应方程为，从而构造函数，再利用零点存在性定理判断的范围即可 所以分别为方程的根即为函数的零点 在单调减在单调增而时，而 答案：C 例若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ） A． B． C． D．单增且连续所以至多一个零点但的零点无法直接求出而各选项的零点便于求解所以考虑先解出各选项的零点再判断的零点所在区间，则有 ，可得 ，所以C选项符合条件例，若实数分别是的零点则 B. C. D. 思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范围，从而，从而 所以有考虑且发现为增函数，即 上的函数求证存在唯一的零点且零点属于 在单调递增 ，使得 单调所以若且 与题设矛盾的零点唯一在单调递增则在中，即函数值与自变量一一对应 例9：（2011年，天津）已知，函数的图像连续不断的单调区间时证明存在使得 令 解得： 在单调递减在单调递增在单调递减在单调递增从而从图像上看必然会在存在使得但由于是证明题解题过程要有理有据，构造函数从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可 由（1）可得：当时在单调递减在单调递增 ，因为 根据零点存在性定理可得： ，使得 存在使得小于零的点时先观察表达式的特点，意味着只要取得足够大早晚比要大的多所以只需要取较大的自变量便可以找到的点选择也可选择等等也可以，其中常数若有两个零点求证 思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且即只需判断的符号可先由存在两个零点判断出的取值范围为 从而只需将视为关于的函数再利用函数性质均大于零即可 令 设，可得为增函数 时 时 在单调递减在单调递增， 有两个零点 在单调递增 在单调递增 而 ，使得即 而 ，使得即 第二章 第9炼 零点存在的判定与证明 函数及其性质 本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载