2015上海市普陀区高三二模数学试卷附详细答案要点.doc

上海市普陀区2015届高三数学二模试卷(含答案)2015.4 一、填空题（每小题4分，共56分） 1．已知集合，若，则实数的取值范围是． 2．函数的最小正周期为 ． 3．在等差数列中，已知则 ． 4．若，的倾斜角，则= ．（用的反正切表示） 5．设（为虚数单位），则 内有点A（2，1），B（0，2），将线段绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为 ． 7.已知平面向量，若，则 ． 8．设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则　，，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 ． 10．已知是椭圆上的一点，为椭圆的左、右焦点，则的最小值为 ． 11．已知是等差数列，设．某学生设计了一个求的算法图（如图），图中空白处理框中是用的表达式对赋值，则空白处理框中应填入：←__________． 12．不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为 ． 13．平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为，已知点，点M是直线上的动点，的最小值为 ． 14．当为正整数时，用表示的最大奇因数，如，设，则数列的前项和的表达式为 ． 二、选择题（每小题5分，共20分） 15．已知，是两条不同的直线，是一个平面, , 则； （B）若, , 则 ； （C）若, , 则 ； （D） 若, , 则 ； 16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ D ） （A）笛卡儿—解析几何； （B）帕斯卡—概率论； （C）康托尔—集合论； （D）祖暅之—复数论； 17．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是（ A ） (A) 若总有成立，则数列是等差数列(B) 若总有成立，则数列是等比数列 (C) 若总有成立，则数列是等差数列(D) 若总有成立，则数列是等比数列 18．方程的正根从小到大地依次排列为，则正确的结论为（ B ） （A） （B） （C） （D） 三、解答题（12+14+14+16+18，共74分） 19．已知向量（为常数且）， 函数在上的最大值为． （1）求实数的值； （2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最大值． 解：（1） 因为函数在上的最大值为，所以故 （2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数 又在上为增函数，的周期即 所以的最大值为2 20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，是的中点，是的中点，点在上，且满足 （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。 解：(1)以分别为轴，建立空间直角坐标系则（2）显然平面的一个法向量为 则（*） 于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，即最大，由（*）式：时， 21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年） （1）求利润的表达式; （2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？ 解：（1） （2），故，当时， 最大，最高利润为520万元。 22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径． （1）已知点，求使面积为时，椭圆的直径所在的直线方程； （2）若过椭圆的中心作斜率为的直线交椭圆于两点，且椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，长度为半径作⊙，问是否存在定圆⊙，使得⊙恒与⊙相切？若存在，求出⊙的方程。若不存在，请说明理由。 （3）定理：若过圆的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值．请对上述定理进行推广． 说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分． 解：（1）设直线的方程为，代入椭圆方程得， 则 解得 故直线的方程为