[2017年整理]1998年全国高中数学联赛试题及解答.docVIP

一九九八年全国高中数学联合竞赛 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A）等于lg2 （B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},则能使A?A∩B成立的所有a的集合是( ) （A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 3.各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( ) (A) 150 (B) ? 200 (C) 150或 ? 200 (D) ? 50或400 4.设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a2x2 + b2x + c2 0的解集相同； 命题Q：==． 则命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件 (B) 是命题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) －arctan (D) π－arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x) (x?R)是以2为周期的偶函数, 当x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 ． 2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 5．若椭圆x2+4(y－a)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是 ． 6．?ABC中, ?C = 90o, ?B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将?ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，A-BCM的体积等于__________. 三、（本题满分20分） 已知复数z=1－sinθ+icosθ(θπ)，求z的共轭复数的辐角主值． 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5都成立． 问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论. 五、（本题满分20分） 已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b 2 ? 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2． 求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ? M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标． 第二试 一、（满分50分）如图，O、I分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。 注：△ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。 二、（满分50分）设a1