第四章数值积分与数值微分(第一次)答案.pptVIP

数学分析 两种基本运算;插值型 求积公式;一、数值求积的基本思想;问题 在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出 f(?)的值．我们将f (?)称为区间[a, b]上的平均高度．这样,只要对平均高度f(?)提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法．; 更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk ，然后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式;二、代数精度的概念;例1： 考察其代数精度。 ;解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有;三、求积公式的收敛性与稳定性; 1、 给定形如 的 求积公式，试确定系数 ，使公式具有尽可能高的 代数精度.; 当 时，得;插值型求积公式;近似计算;如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项式 f (x)，其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．; 节点等距分布：; 若求积公式(1.3)的代数精度为 ，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如;（1.9）; 对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明;已学知识回顾;n = 1:;§4.2.2、偶阶求积公式的代数精度; 证明 我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零. ;因为被积函数;估计截断误差为;4、 求例3中求积公式;本 节 主 要 内 容;§4、3 复化求积公式;二、复化辛普森公式:;三、收敛速度与误差估计：;问题: 给定精度 ?，如何取 n ?; xi;作业 P135： 2(1),3,6;一、梯形法的递推化——逐次分半法; 注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点 xk+1/2＝( xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为;二、龙贝格算法;例：计算;这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式;0 20=1 T1 1 21=2 T2 S1 2 22=4 T4 S2 C1 3 23=8 T8 S4 C2 R1 4 24=16 T16 S8 C4 R2 5 25=32 T32 S16 C8 R4 … … … … … ; 例5 用龙贝格方法计算椭圆 x2/4 + y2 ＝ l 的周长，使结果具有五位有效数字．;下表给出了用龙贝格方法计算积分I= ? √1+3sin2? dx 的过程.;若记Tn = T(h), 当区间[a, b]分为2n等分时, 有 , 则; 则又可进一步从余项中消去 h4 项，这样构造出的 ，其实就是柯特斯公式序列，它与 I 的逼近阶为O(h6) . ; 可以证明，如果 f (x) 充分光滑，那么T 数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I ，即;计算过程