(2.4)第四节高阶导数(少学时简约型)要点.ppt

中国药科大学 数学教研室 杨访; 从实际问题考虑，有必要研究函数导函数的导数。 例如，变速直线运动的速度函数 v = v( t )是位置 函数 s( t )对时间 t 的导数，即 v = s ?( t ). 加速度 a = a( t )又是速度函数 v( t )对时间 t 的导数, 即 a = v ?( t )=[ s ?( t )]?. 这种导数的导数称为 s( t )对 t 的二阶导数，记作: s ?( t ). 由此可抽象出二阶导数的 及一般高阶导数的概念。 ; 函数 y = f( x )的导数 y = f ?( x )仍是 x 的函数，通 常把导函数 y = f ?( x )的导数叫做函数 y = f( x )的二阶 导数，记作: f ?( x )，y ? 即 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数 的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导 数叫做 n 阶导数，即 f ( n )( x )=[ f ( n-1 )( x )]?. 分别记作 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 ; 函数 y = f( x )具有 n 阶导数，也常说成函数 f( x ) n 阶可导。如果函数 f( x )在点 x 处具有 n 阶导数，则 函数 f( x )在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶 的导数。; 从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数 的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可 以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题： 一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增 加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各 阶求导过程中的中间变量。 二是逐阶求导对求导次数不高 时是可行的，当求导次数较高或求 任意阶导数时，逐阶求导实际是行 不通的，此时需研究专门的方法。 ;(1) 高阶导数的计算法则 ; u( x ), v( x )积的 n 阶导数 ─ 莱布尼兹公式 ;=( u ?· v )?+( 2u ?· v ?)?+ ( u · v ?)? =( u ??· v + u ?· v ?)+ 2( u ?· v ? + u ?· v ?)+( u ?· v ?+ u · v ??) = u ??· v + 3 u ?· v ? + 3 u ?· v ? + u · v ??. 可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其 间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，记： u( x )= u( 0 )( x )，v( x )= v( 0 )( x )， u ?( x )= u( 1 )( x )，v ?( x )= v( 1 )( x )，依此类推。 于是上述计算结果可写成： ( u· v )? = u( 1 )· v( 0 ) + u( 0 )· v( 1 )， ( u· v )? = u( 2 )· v( 0 ) + 2u( 1 )· v( 1 )+ u( 0 )· v( 2 )， ( u· v )?? = u( 3 )· v( 0 ) + 3u( 2 )· v( 1 )+ 3u( 1 )· v( 2 )+ u( 0 )· v( 3 ).; 由此可见，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变 化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。于是由归 纳法可求得： 这一结果称为莱布尼兹公式。; 莱布尼兹公式虽然指出了乘积的高阶导数的规律 性，但一般而言，按莱布尼兹公式求乘积高阶导数是 较繁杂的，不适合于作为一般方法。 然而在一些特别情形下，应用莱布尼兹公式却很 便利。例如，乘积中有一因子的高阶导数大多为零， 如幂函数因子，则用莱布尼兹公式 计算较为方便。又如，对于某些高 阶导数值的计算，利用莱布尼兹公 式可直接建立某种递推关系，这对 问题的分析和讨论都很有用。;例：设 y = x 2 f( cos x )，f ?( x )存在，求 y ?. 这是半抽象复合函数求二阶导数问题。由于已 知 f ?( x )存在，故只需按导数规则逐阶求导即可。 y ? =[ x 2 f( cos x )]?= 2 x f( cos x )- x 2 f ?( cos x )sin x， y ? =( y ? )?=[ 2x f( cos x )- x 2 f ?( cos x )sin x ]? =[ 2x f( cos x )]?-[ x 2 f ?( cos x )sin x ]?， = 2[ f( cos x )- x f ?( cos x )sin x ]-[ 2x