一轮复习配套讲义：第3篇第6讲正弦定理和余弦定理教程.doc

第6讲　正弦定理和余弦定理 [必威体育精装版考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知 识 梳 理 1．正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理余弦定理内容eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R (R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C常见变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin Ccos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)． (2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B. (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 辨 析 感 悟 1．三角形中关系的判断 (1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B. (×) (2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，则A＝60°或120°. (√) 2．解三角形 (3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝eq \f(5,9). (√) (4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝eq \f(9,16)，则b＝6. (√) 3．三角形形状的判断 (5)在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形． (√) (6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形． (×) [感悟·提升] 1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B，如(1)． 2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 学生用书第63页 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝eq \r(3)b，则角A等于 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,12) (2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4eq \r(2)，B＝45°，则sin C＝______. 解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝eq \r(3)sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. ∴sin A＝eq \f(\r(3),2).又∵△ABC为锐角三角形， ∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq \f(π,3). (2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝25，即b＝5. 所以sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(2),2),5)＝eq \f(4,5).