概率论和数理统计[经管类]第七章课后习题答案word.docVIP

习题7.1 设总体X服从指数分布 fx;λ=λe-λx, x≥0,λ0;0, x0. 试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16,19,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100.求λ的估计值. 解: 似然函数为Lλ=i=1nλe-λxi=λne-λi=1nxi lnLλ=nlnλ-λi=1nxi 令d lnLλdλ=nλ-i=1nxi=0 得λ=ni=1nxi=1x=1118(16+19+,?,1100)=1318 设总体X的概率密度为 fx=θxθ-1, 0x1;0, 其他. θ0 试求(1) θ的矩估计θ1; 2θ的极大似然估计θ2. 解:(1) EX=-∞+∞xfxdx=01x?θxθ-1dx=01θxθdx=θθ+1 EX=x=θθ+1 θ的矩估计θ1=x1-x (2) 似然函数为Lθ=i=1nθxiθ-1=θn(x1,x2,?xn)θ-1 lnLθ=nlnθ+θ-1lnx1+lnx2,?lnxn=nlnθ+θ-1i=1nlnxi 令 d lnLθdθ=nθ+i=1nxi=0 解得θ2=-ni=1nxi 设总体X服???参数为λλ0的泊松分布,试求λ的矩估计λ1和极大似然估计λ2.(可参考例7-8) 解: 由X服从参数为λ的泊松分布 ∴E(X)=λ 由矩法,应有x=λ ∴λ1=x 似然函数为Lλ=i=1nλixie-λ=λxix1!x2!?xn!e-nλ lnLλ=xilnλ-nλ-ln?(x1!x2!?xn!) d lnLλdλ=xiλ-n=0 解得λ的极大似然估计为 λ2=1ni=1nxi=X 习题7.2 证明样本均值x是总体均值μ的相合估计. 证: ∵Ex=μ,Dx=σ2n→0(n→∞) ∴由定理7-1知x是μ的相合估计. 证明样本的k阶矩Ak=1ni=1nxik是总体k阶矩Exk的相合估计量. 证: ∵EAk=E1ni=1nxik=Exk, DAk=D1ni=1nxik=1n2i=1nD(xik)→0(n→0) ∴Ak=1ni=1nxik是Exk的相合估计. 设总体X~Nμ,1,-∞μ∞,x1,x2,x3为其样品.试证下述三个估计量: μ1=15x1+310x2+12x3; μ2=13x1+14x2+512x3; μ3=13x1+16x2+12x3 都是μ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: ∵Eμ1=15E(x1)+310Ex2+12Ex3=15μ+310μ+12μ=μ Eμ2=13E(x1)+14Ex2+512Ex3=13μ+14μ+512μ=μ Eμ3=13E(x1)+16Ex2+12Ex3=13μ+16μ+12μ=μ ∴μ1,μ2,μ3都是μ的无偏估计. Dμ1=125D(x1)+9100Dx2+14Dx3=125+9100+14=1950 Dμ2=19D(x1)+116Dx2+25144Dx3=19+116+25144=2572 Dμ3=19D(x1)+136Dx2+14Dx3=19+136+14=718 故μ2的方差最小. 设总体X~uθ,2θ,其中θ0是未知参数,又x1,x2,?xn为取自该总体的样品,x为样品均值. 证明θ=23x是参数θ的无偏估计和相合估计; 求θ的极大似然估计. 证: Eθ=E23x=23Ex=23*32θ=θ ∴θ=23x是参数θ的无偏估计 又Dθ=D23x=49Dx=49*θ212n=θ227n→0(n→∞) ∴θ=23x是参数θ的相合估计. X~uθ,2θ故其分布密度为 fx=1θ, 0≤x≤2θ (θ0)0, 其他 似然函数Lθ=1θn, 0≤xi≤2θ (i=1,2,?n)0, 其他 因对所有xi有0≤xi≤2θ i=1,2,?n ∴0≤max{x1,x2,?xn}≤2θ 习题7.3 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~Nμ,0.22.现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的x=8.54,求μ的置信度0.9的置信区间. 解:α=1-0.9=0.1,u0.05=1.64 置信度为0.9的置信区间是 x-uα2σn,x+uα2σn =8.54-1.64*0.26,8.54+1.64*0.26 ≈[8.41,8.67] 设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随