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DCT 变换的原理及算法 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform） 离散傅立叶变换概述 傅立叶分析以法国数学家和物理学家 Jean Baptiste Joseph Fourier 命名，是一种 将信号分解为谐波的方法。如下三图所示，一个包含 16 个点的离散信号可以用 9 个余弦 和 9 个正弦波来表示。在表达任意一个离散信号时，这些三角波的周期是一定的，不同的 只是振幅(amplitude)。 图 1-1 离散信号与对应的三角波 信号可以是连续的或离散的，同时也可以是周期性的或非周期性的，根据信号的这两 个特点，傅立叶变换可以分为四种类型： 傅立叶变换（Fourier Transform），处理非周期性的连续信号（Aperiodic- Continuous）。 傅 立 叶 序 列 (Fourier Series) ， 处 理 周 期 性 的 连 续 信 号 （ Periodic- Continuous）。 离散时间域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform），处理非周期性 的离散信号（Aperiodic-Discrete）。 离散傅立叶变换 (Discrete Fourier Transform)，处理周期性的离散信号 (Periodic-Discrete)。 计算机只能处理离散的和有限长度的信号，因此只有离散傅立叶变换(DFT)能在计算 机中以算法实现。 图 1-2 四种不同类型的傅立叶分析 实数离散傅立叶变换（Real DFT）的格式和表示 如图 1-3 所示，离散傅立叶变换将包含 N 个点的输入波转为两个包含 N/2+1 个点的输 出波。输入波常被称作时间域，因为信号的波形基本上都是随时间变化，输出波常被称 作频率域。 时间域与频率域中存储的信息是一样的，只是表现方式不一样。将时间域转为频率域的 过程叫离散傅立叶变换（DFT），将频率域转换为时间域的过程叫反变换（IDFT）。频率 域 可以 分为 两部 分 ，实 数部 分 Re X[ ] 和虚 数部 分 Im X[ ] ，分 别存 放余 弦函 数 (Cosine)的振幅和正弦函数(Sine)的振幅。 图 1-3 实数傅立叶变换示意图 DFT 基函数 DFT 中使用的正弦和余弦函数统称为基函数(Basis Function)，这些三角函数的周 期是固定的，变化的只是振幅。DFT 基函数的表达式： Ck[i] = cos(2πki/N) Sk[i] = sin(2πki/N) 公式 1-1 其中，Ck[i]和 Sk[i]表示由 N 个点组成的离散正弦曲线，i 的取值范围是张倒 N-1。k 决定了曲线的周期，取值范围是 0 到 N/2。 多余的系数 完成 DFT 后，系数由原来的 N 个变为 N+2 个，似乎产生了两个多余的系数。在频率 域中，的确有两个系数是多余的，它们是 Im X[0]和 Im X[n/2]。它们的存在使得频率域中 的其他系数相互独立，并且它们的值永远为 0，因此不会影响反变换。 反变换的计算(IDFT) 公式 1-2 在上面的公式中，振幅使用的是 和 ，而不是 Im X[k]和 Re X[k]。两者的关系可以用下面的公式来表示： 公式 1-3 反变换的算法实现