第7章 随机变量的数字特征综述.ppt

* * * * * 查标准正态分布表中函数值为0.975的那个自变量， 例如， 查表， 因此 满足 则称数 为 X 的上侧 分 位数。 第四节 切比雪夫不等式与大数定律 一、切比雪夫不等式 若随机变量 X 的期望和方差存在,则对任意 ? ?0, 随机变量 X 落在以期望 E(X) 为中心 ? 为半径的邻域的外侧 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它的等价的形式为： 证 设 X 以连续型，则 解 切比雪夫不等式为 例1 已知 E(X)=12,D(X)=19, 用切比雪夫不等式估计： 例2 已知某种股票每股价格 X 的平均值为 1 元，标准差为 0.1 元，求 a,使股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%. 由切比雪夫不等式 令 解:依题意得 例3 已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是7300,标准差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率. 解:依题意得 于是有 定义 设{Xn}为随机变量序列,X 为随机变量,若任给? 0, 使得 则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 二、依概率收敛 意思是: 当 时, 而 意思是: ,当 Xn 落在 内的概率越来越 大,接近于1. 三、 大数定律 在二章第一节 介绍过，频率具有稳定性。试验表明，随着试验的次数 n 的增大 , 频率 f 是稳定的，稳定在某一个常数的附近，这个常数就称为概率，这是概率的统计定义。 频率具有稳定性是指频率在某种意义下是收敛的，收敛到概率，即频率在某种意义下是有极限的，极限是概率。 1.伯努利大数定律 设 为 n 次独立的试验中事件 A 发 生的次数，则 即对于任意 简单来说，伯努利大数定律是指频率依概率收敛到概率。 注解：“频率这个随机变量落在了以概率 p 为中心 ? 为半径的邻域内”这件事的概率的极限为 1. 给定的 证 由切比雪夫不等式，有 而 由夹逼准则，得 2.切比雪夫大数定律 设 独立 即对于任意给定的 同分布， 把书上的切比雪夫大数定律的条件强化了 简单来说，切比雪夫大数定律是指 n 个独立同分布有期望有方差的随机变量的算术平均值依概率收敛到它们共同的均值。 则 3.辛钦大数定律 设 独立同分布， 即对于任意给定的 则 简单来说，大数定律是指大量的独立同发布的随机变量的算术平均值是收敛的（是稳定的）。 假设每个随机变量都有各自的分布，每个随机变量不是同分布的，更复杂一点， 大数定律是指大量的独立的随机变量的算术平均值是收敛的（是稳定的）。 大数定律的概率意义 第五节 中心极限定理 在数理统计中，常常用到大量的随机变量 的和 的分布。但要给出其精确的分布 很困难。然而，满足一定条件时， 近似服从正 态分布。 1.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace) 设随机变量 ，则对于任意实数 ，有 令 分析： 则 根据极限的含义， 当n充分大时， 即：当n充分大时， ～ 近似 近似地服从标 准正态分布，即 ～ 近似 近似地服从一般的正态分布，即 ，当n充分大时，正态分布是二项分布的近似分布，即 ～ 近似 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理的应用 泊松（Poisson）定理的应用 其中　　 当n充分大，p很小时，二项分布逼近泊松分布，即泊松分布是二项分布的近似分布，这时, ～ 近似 2.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设 独立同分布， 则对于任意的 ，有 应用：当n充分大时， ～ 近似 ～ 近似 注：简单来说，中心极限定理是指 ① 若 ，当 充分大时， ～ 近似 近似 ② 独立同分布有期望有方差的随机变量 ～ 例1 设一个车间里有 400 台同类型