★选修4-5不等式选讲讲述.docxVIP

PAGE8 / NUMPAGES8 选修4-5 不等式选讲 第1章 不等式的基本性质 1.（对称性）ab?ba 2.（传递性）ab,bc?ac 3.（可加性）ab?a+cb+c 4.（同向可加性）ab,cd?a+cb+d 5.（异向可减性）ab,cd?a-cb-d 6.（可积性）ab,c0?acbc，ab,c0?acb 7.（同向正数可乘性）ab0,cd0?acbd 8.（异向正数可除性）ab0,cd0?acbd 9.（平方法则）ab0?anbn（n∈N，且n1） 10.（开方法则）ab0?nanb（n∈N，且n1） 11.（倒数法则）ab,ab0?1a1b 第2章 几个重要不等式 1.完全平方不等式：a2+b2≥2ab≥2aba,b∈R（当且仅当a=b时取“=”号），变形公式：ab≤a2+b22 2.轮换不等式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a,b,c∈R)（当且仅当a=b=c时取到等号） 若a,b,c是三角形的三条边，则a2+b2+c22ab+bc+ca 3.黄金不等式：a3+b3+c3≥3abc(a,b,c0)（当且仅当a=b=c时取到等号） 证明：a3+b3+c3-3abc=12a+b+ca-b2+b-c2+c-a2≥0 [利用公式：a3+b3=a+ba2-ab+b2=a+b3-3a2b-3ab2] 4.基本不等式：a+b2≥aba,b∈R+（当且仅当a=b时取到等号）。 应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”。 变形公式：a+b≥2ab ，ab≤a+b22，ab≤-a+b2a≤0,b≤0或a+b≤-2ab 5.三个正数的算术—几何平均不等式： a+b+c3≥3abca,b,c∈R+ （当且仅当a=b=c时取到等号） 变形： a+b+c≥33abc， abc≤a+b+c33 一般推广：i=1nain≥ni=1nai 变形：i=1nai≥nni=1nai，i=1nai≤i=1nainn 6.倒数不等式：若ab0，则ba+ab≥2（当仅当a=b时取等号）； 若ab0，则ba+ab≤-2（当仅当a=b时取等号）。 7.分数加同不等式（糖水不等式）：bab+ma+m1a+nb+nab，其中ab0，m0，n0 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小。 8.绝对值基本不等式：当a0时，xa?x2a2?x-a或xa。 9.绝对值三角不等式： a-b≤a±b≤a+b 推论：①a-b≤a-c+b-c，当且仅当(a-c)(b-c)≤0时等号成立； ②a-b≤a-b≤a±b 以上绝对值三角不等式的证明方法是讨论a,b是否为0以及是否同号。 第3章 几个著名???等式 1.平均不等式：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22a,b∈R+（当且仅当a=b时取号） （即调和平均Hn≤几何平均Gn≤算术平均An≤平方平均Qn） 变形公式： ab≤a+b22≤a2+b22，a2+b2≥(a+b)22 一般形式：n1a1+1a2+…+1an≤na1a2…an≤a1+a2+…+ann≤a12+a22+…+an2nai?R+,i=1,2,…,n 变形：a1a2…an≤a1+a2+…+ann2≤a12+a22+…+an2n 幂平均不等式： a12+a22+…+an2≥1n(a1+a2+···+an)2 2.加权平均不等式：设a1,a2,…,an为正数，p1,p2,…,pn都是正有理数，并且p1+p2+…+pn=1，那么p1a1+p2a2+…pnan≥a1p1a2p2·…·anpn。 证明：设正有理数p1,p2,…,pn的公分母为k，p1=m1k,p2=m2k,…,pn=mnk 因为p1+p2+…+pn=1，所以m1+m2+…+mn=kp1+p2+…+pn=k 在平均值不等式中取m1个a1，m2个a2，…，mn个an（共取k个元素）得： m1a1+m2a2+…+mnank≥a1m1a2m2…anmn1k， 由m1,m2,…,mn的定义，立即得：p1a1+p2a2+…pnan≥a1p1a2p2·…·anpn。 推论：（杨格不等式）设p,q为有理数，满足条件1p+∞,1q+∞,1p+1q=1（p,q互称为共轭指标，a,b为正数），则app+bqq≥ab。 证明：在加权平均不等式p1a1+p2a2≥a1p1+a2p2中令p1=1p, p2=1q，则p1+p2=1，再令a1=ap, a2=bq，即得app+bqq≥ab（有理数逼近无理数思想）。特别地，当p=q=2时，杨格不等式即为a2+b22≥ab。 3.柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)，当且