2矩阵及其运算ppt.pptVIP

第二章 矩 阵;组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。; 二、加法; 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同的零矩阵是不同的.; 三、数乘法; 四、乘法; 解;例3 设矩阵;例4 求矩阵; 矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：; 矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：; 对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, ann); A0=E, A1=A， A2= A1 A1 ，…, Ak+1=AkA1; 方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k是常数); 称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵是方阵. ;§2 逆 矩 阵; 定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E 则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。; 定理2.1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.; 对n阶方阵A, 其行列式|A|的各元素的代数余子式Aij也称为方阵A的代数余子式.; 定理2.2 矩阵A可逆?|A|≠0。且|A|≠0时, 有; 推论 若AB=E(或BA=E)，则B=A-1。;例7 设;所以有 ; 矩阵在线性方程组求解中有重要作用. ; 如果矩阵|A|?0, 则A可逆, 于是方程组的解为;§3 分块矩阵;也可将矩阵A分成： ; (1) 设有两个同阶矩阵A，B，采用相同的分块法：; (3)设有两个矩阵A m×l，B l×n，分块成：;例8 设;由于; (5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是 方阵，即 ;例9 设;例10 设; X11+A1X21=E , X12+A1X22=0, A2X21=0, A2X22=E;例11;作 业;§4 初等变换与初等矩阵; 若强调变换的具体做法, 对行(row)的表示为:;例12 设;例12 设; 定义2.4 对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。; 可见, ; 可见, ; 定理2.3 对矩阵A作一次初等行(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等矩阵。;我们有;;;;;; 例如, 例12中有; 定义2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B是等价的。; 定理2.4 任意m?n矩阵A都与形为 的矩阵等价。; 下面给出利用初等变换求矩阵逆矩阵的方法.;例13;所以有:;所以 P1,P2, …,Pt (A B)=(E A-1B); 解法二 由AX=B可得X=A-1B,; 由A-1=P1,P2, …,Pt 和 A-1 =;(AT , BT) (E ,(AT)-1BT)=(E , (BA-1)T);练习1 设3阶矩阵A满足