高中数学论文圆不离3方程寻根新人教B版.doc

PAGE  PAGE 4 数学题根 (13) 圆不离“三” 方程寻根 一、三点定圆的条件 “两点线，三点圆”，讲的是确定一条直线只须两点，那么确定一个圆 “只须三点”吗? 【例1】 平面上有A，B，C 三点，求作一个圆⊙O，使⊙O 同时经过A，B，C 三点. 【分析】 按圆的定义：到定点O的距离等于定长的点的集合. 于是产生了“中垂线法”找圆心. 【作法】 (1)依次连接AB，BC. (2)分别作AB,BC的中垂线m和n. (3)设m和n相交于O, 则以O为圆心,以OA为半径的⊙O为所求. 【讨论】 当m ∩ n =O 时, 易知OA=OB=OC. ⊙O 同时过A,B,C三点. 因为中垂线m和n 分别唯一, 且m , n 的交点也唯一, 故符合条件的⊙O有且只有一个. 当m ∩ n =φ，即m ∥ n 时，A，B，C 三点在同一条直线上. 此时 m 和 n 的交点O不存在，则圆心O不存在，从而符合条件的圆不存在. 【结论】 平面上三点确定一个圆的充要条件是：这三点不在同一直线上. 易知，三角形有唯一的外接圆. 二、圆方程的几何式与代数式 按圆的定义和距离公式，容易推得圆方程的几何形式为 (x－a )2 + (y－b )2 = r 2 其中的三个参数a , b , r 对应着“确定圆的三个条件”. 圆心O (a，b) 含两个条件，半径r 只相当1个条件. 将圆方程的几何式展开，得圆方程的代数式. x2 + y2+Dx +Ey+F= 0 代数式中也含三个参数D，E，F，也对应着“确定圆的3个条件”：x 的一次项的系数，y的一次项系数和常数项. 所谓求圆的方程，就是确定参数组 a, b, r 的值或参数组D，E，F 的值. 【例2】 已知⊙G 经过原点，且在x 轴正向上的截得的弦长为OA=8，在y 轴负向上截得的弦长为OB=6, 求圆的方程. 【分析】 三个条件确定一个圆，本题的三个条件到齐，故圆的方程可以确定. 【解1】 OA的中垂线x= 4 与OB的中垂线 y= －3相交于G（4，-3）即得圆心G. 且（半径） 故所求的圆方程的几何式为（x－4）2+(y+3)2 =25 【解2】 设圆方程的代数式为：x2 + y2 +Dx + Ey +F=0 代入已知三点的坐标O (0,0), A (8,0) , B (0,－6) 得方程组 故所求方程的代数式为：x2 + y2 －8 x + 6 y =0 【点评】 本题的已知条件中，所求圆的几何特征明显，故设圆方程的几何式比代数式优越. 三、大千变换 唯“三”不变 求圆的方程，条件给定的方式千变万化，但条件的个数恒定为3. 如果说，确定一个圆的基本条件是3个已知点，那么编题人的花招只不过是：把3个“点”中的某1个点，某2个点，甚至全部3个点进行条件的“等价替换”. 【例3】 已知圆上两点P（－2，4）和Q（3，－1），且圆在 x 轴上截得的弦长为6. 求圆的方程. 【分析】 “在 x 轴上截得的弦长为6” 这是把“第3点”进行条件等价替换的结果. 因为已知点有两个，故考虑圆方程的代数形式. 【解答】 设圆的方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 (※) 代入P，Q两点的坐标得 在式（※）中， 令y =0得： x2 + Dx +F=0 设其2个根分别为x1和x2 ,依题意有： 于是得D2－4F=36 （3） 联立（1），（2），（3）.解得 或 故所求的方程由 x2 + y2－2 x－4y －8 = 0或 x2 y2－6 x －8 y =0 【点评】 由式（3）的得出过程可知，演变后的第3个条件. 最终相当于1个已知点的作用. 四、圆的轨迹 也需三点 把圆视作轨迹图形，不管通过怎样的过程或方法而得到，其“控制条件”也是三个，其中，两个条件给圆（心）定位，一个条件确定圆（半径）的大小. 【例4】 设A（－c，0），B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0，且a≠1），求P点的轨迹. 【分析】 轨迹的控制条件有3个：点A，点B和比值a. 如果其轨迹是圆，则条件A，B则（主要）给圆（心）定位，而条件“比值a”（主要）用来确定圆的（半径）大小. 【解答】 设动点P的坐标为P（x，y） 由=a（a0），得=a，化简得： （1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0. 当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理， 得：（x－c）2+y2=（）2 所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，以||为半径的圆. 【点评】 到两定点A和B距离之比为常数 a (a0 且a≠1) 的点的轨迹是一个圆. 圆