高一数学第7讲：零点与方程的根.docVIP

第七讲 方程的根与函数的零点 （一）抛转引玉 浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？ 2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？ 3）能计算出具体的时刻吗？ （设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．） （二）溯本逐源 复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系： 一元二次方程 根的个数二次函数图象与轴 交点个数二次函数图象与轴 交点坐标（设计意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．） 函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 1．函数零点概念 对于函数，把使的实数叫做函数的零点． 说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． 方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点 　　　　　　函数有零点 以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础． （三）顺藤摸瓜 浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？ 给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根. （四）牛刀小试 1. 2．求函数的零点的个数． 练习：3.1.1: 7,8,9，13 (设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．) （五）抽丝剥茧 问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？ 问题2.若，函数在区间在上一定没有零点吗？一定有零点吗？ 问题3.若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？ 问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数在区间在上只有一个零点？ (设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．) （六）再接再厉 1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内必定有零点？为什么？ x123456f (x)20-5.5-2618-32.函数在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗? (设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想.) （七）提纲挈领 1.知识小结： 零点的概念、方程的根与函数的零点 零点存在定理 2.思想方法小结：化归思想 数形结合思想 方程函数转化思想 用二分法求方程的近似解 假设电话线故障点大概在函数的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？ ?我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且＜0，＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？ 生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值. 师：如何有效缩小根所在的区间？ 生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围． 生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间的中点的方法． 步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得. 由＞0，得知，所以零点在区间(2.5，3)内。 步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得.因为，所以零点在区间(2.5，2.75)内.? 结论: 由于，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果