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运用盛金公式与盛金判别法解题举例 运用盛金公式解题的步骤：按顺序求出A、B 、C、Δ的值，代入相应的盛金公式就可得出结果。 例1判别方程40X3＋12X2＋30X＋25=0的解 解:a=40，b=12，c=30，d=25。 A=b2－3ac=122－3×40×30＜0。 ∵A＜0，∴根据盛金定理5，必定有Δ＞0， ∴根椐盛金判别法②，方程有一个实根和一对共轭虚根。 例2判别方程8√3X3＋36X2＋18√3X＋9=0的解 解:a=8√3，b=36，c=18√3，d=9。 A=b2－3ac=362－3(8√3)(18√3)=0， B=bc－9ad=36(18√3)－9(8√3)9=0。 ∵A=B=0，∴根据盛金判别法①，方程有一个三重实根。 例3解方程592704X3－2095632X2＋2469852X－970299=0 （使用科学计算器辅助运算） 解:a=592704，b=－2095632，c=2469852，d=－970299。 A=b2－3ac=(－2095632)2－3×592704×2469852=0； B=bc－9ad=(－2095632)2469852－9×592704(－970299)=0。 ∵ A=B=0，∴ 应用盛金公式①求解。 把有关值代入盛金公式①，得: X1=X2=X3=－c/b=－2469852/(－2095632)=1＋5/28。 所以，原方程的解是： X1=X2=X3=1＋5/28。 例4解方程5X3＋691X2＋24616X＋50864=0 （写出主要步骤） 解:a=5，b=691，c=24616，d=50864。 A=108241；BC=500506384，Δ= 0。 ∵Δ=0，∴ 应用盛金公式③求解。 K=136。 把有关值代入盛金公式③，得: X1=－(2＋1/5)；X2=X3=－68。 例5解方程X3－6X2＋11X－6=0 解:a=1，b=－6，c=11，d=－6。 A=3；B=－12；C=13，Δ＜0。 ∵Δ＜0，∴应用盛金公式④求解。 θ=90°。 把有关值代入盛金公式④，得：X1=1；X2=3；X3=2。 这个方程是一个非常简单的方程，用猜根法、试根法、降次法、因式分解法或分组分解法都很容易求解。尽管是很简单的方程，但用盛金公式也很方便求解，直接套用盛金公式就可得出结果，比起用猜根法、试根法、降次法、因式分解法或分组分解法都方便得多，因为不用费脑筋和时间去猜根、试根或思考因式分解或分组分解等问题。在现实中并非解方程的题都是这么简单，有许多题用猜根法、因式分解法等是无法求解的。无论是多么复杂的一元三次方程，只要熟练操作科学计算器，就可用盛金公式直观地快速求解。 例6解方程584X3－27X2＋18X－4=0 解:a=584，b=－27，c=18，d=－4。 A=－30807；B=20538；C=0，Δ=205382。 ∵Δ＞0，∴ 应用盛金公式②求解。 Y1=831789；Y2= 3√Y1=3√831789=9×3√1141；3√Y2=3√(=－3×3√1301881， 把有关值代入盛金公式②，得: X1=(9－3×3√1141＋3√1301881)/584； X2，3=(18＋3×3√1141－3√1301881±√3(3×3√1141＋3√1301881)i)/1168。 例7解方程√73(√(2－√2))X3＋63X2－27=0 （这个方程用其他方法不方便求解，用盛金公式便可直观求解。） 解:a=√73(√(2－√2))，b=63，c=0，d=－27。 A=632；B=63×27×√7√(2－√2)；C=3×63×27，Δ=632×272×7(－√2－2)＜0。 ∵Δ＜0，∴应用盛金公式④求解。 θ=45°， cos(θ/3)=cos15°=(√6＋√2)/4；sin(θ/3)=sin15°=(√6－√2)/4。 把有关值代入盛金公式④，得: X1=(－3(2＋√2＋√6)√14√(2＋√2))/28； X2=(3√14√(2－√2))/14； X3=(－3(2＋√2－√6)√14√(2＋√2))/28。 例8解方程20X3－72X2－41X＋168=0 解:a=20，b=－72，c=－41，d=168。 A= 7644；B=－27288；C=37969，Δ＜0。 ∵Δ＜0，∴应用盛金公式④求解。 θ≈66.333°。 把有关值代入盛金公式④，得: X1=－1.5；X2=3.5；X3=1.6。 例9解方程X3＋6X2＋9X－13=0 解:a=1，b=6，c=9，d=－13。 A=9；B=171；C=315，Δ=17901。 ∵Δ＞0，∴应用盛金公式②求解。 Y1=27M；Y2=27N。 其中M=(－1